Dedekind 分割

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Dedekind 分割（戴德金分割、戴德金分划）是一个建立实数完备性的理论。它的目标是构造一个“实数集”，使它能和直线上的点一一对应，而这种构造方式可以形象地理解为将代表实数轴的直线从任意一个位置切开，使得切点所代表的数要么是左端直线的最大数，要么是右端直线的最小数，亦即切点总代表一个实数。

戴德金分割

将实数分为两大类 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf {A'}$，如果满足条件：

1. $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf {A'}$非空，且 $\mathbf {A} \cap \mathbf {A'} = \varnothing$；
2. $x \in \R$，都有 $x \in \mathbf {A}$ 或 $x \in \mathbf {A'}$；
3. 如果 $a \in \mathbf {A} , a' \in \mathbf {A'}$，则 $a < a'$；

那么，这样的分拆叫做实数域的一个分划，记为 $\mathbf {A} | \mathbf {A'}$，$\mathbf{A}$ 叫做分划的下类，$\mathbf {A'}$ 叫做分划的上类。

戴德金原理

Dedekind 分割（戴德金分划基本定理）：对于实数域上的任何一个分划 $\mathbf {A} | \mathbf {A'}$，总会有一个实数 $\alpha$，使得 $\alpha$ 是下类 $\mathbf{A}$ 的最大数或者上类 $\mathbf {A'}$ 的最小数。这等价于对于实数域上的任何一个分划 $\mathbf {A} | \mathbf {A'}$，总会有一个实数 $\alpha$，使得

$$x \leqslant \alpha \leqslant y, ~ \forall x \in \mathbf{A}, y \in \mathbf{A'}.$$

证明

通过实数朴素定义（无限小数公理）可以证明戴德金原理。

应用

它可以证明实数完备性的其他等价定理，例如确界定理。

参考资料

1. 华东师范大学数学科学学院, 《数学分析（上）（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2019-05, ISBN 978-7-0405-0694-5.