De Morgan 定理

De Morgan 定理（得·摩根律）又稱對偶原理。是集合論以及概率論中的一個基本公式。

有限情形

給定一個全集（或必然事件）$\mathit{\Omega}$，設有集合或事件$A, B$，那麼 $$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B},\quad \overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$$ 可以將它推廣到有限個集合或事件的情形，即設有一組集合或事件$A_i, i = 1, 2, \cdots, n.$則有 $$\overline{\bigcup_{i=1}^n A_i} = \bigcap_{i=1}^n \overline{A_i}, \quad \overline{\bigcap_{i=1}^n A_i} = \bigcup_{i=1}^n \overline{A_i}.$$ 利用該原理有時候可以把某些問題化繁為簡，例如求事件$A_1, A_2 ,\cdots, A_n$至少發生一個的事件為 $$\bigcup_{i=1}^n A_i = \overline{\bigcap_{i=1}^n \overline{A_i}}$$ 進而其概率為 $$P\left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right) = 1-P\left(\bigcap_{i=1}^n \overline{A_i}\right).$$

可列情形

設有一個事件序列$\{ A_n \}_{n=1}^\infty$，同樣成立 $$\overline{\bigcup_{n=1}^\infty A_n} = \bigcap_{n=1}^\infty \overline{A_n}, \quad \overline{\bigcap_{n=1}^\infty A_n} = \bigcup_{n=1}^\infty \overline{A_n}.$$ 可列情形時概率也有公式 $$P\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right) = 1-P\left(\bigcap_{n=1}^\infty \overline{A_n}\right).$$

應用

利用它可以證明很多有用的關係式，例如下式 $$\bigcup_{i=1}^n A_i = \sum_{i=1}^n \overline{A_1}~\overline{A_2}\cdots\overline{A_{i-1}}A_i.$$ 等式兩邊同時加上$\bigcap_{i=1}^n \overline{A_i}$，即為$\mathit{\Omega}$，右側利用$A_i + \overline{A_i} = \mathit{\Omega}$，即可得證。

參考資料

1. 李賢平, 《概率論基礎（第3版）》, 高等教育出版社, 北京, 2010-04, ISBN 978-7-0402-8890-2.