De Morgan 定理

De Morgan 定理（得·摩根律）又称对偶原理。是集合论以及概率论中的一个基本公式。

有限情形

给定一个全集（或必然事件）$\mathit{\Omega}$，设有集合或事件$A, B$，那么 $$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B},\quad \overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$$ 可以将它推广到有限个集合或事件的情形，即设有一组集合或事件$A_i, i = 1, 2, \cdots, n.$则有 $$\overline{\bigcup_{i=1}^n A_i} = \bigcap_{i=1}^n \overline{A_i}, \quad \overline{\bigcap_{i=1}^n A_i} = \bigcup_{i=1}^n \overline{A_i}.$$ 利用该原理有时候可以把某些问题化繁为简，例如求事件$A_1, A_2 ,\cdots, A_n$至少发生一个的事件为 $$\bigcup_{i=1}^n A_i = \overline{\bigcap_{i=1}^n \overline{A_i}}$$ 进而其概率为 $$P\left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right) = 1-P\left(\bigcap_{i=1}^n \overline{A_i}\right).$$

可列情形

设有一个事件序列$\{ A_n \}_{n=1}^\infty$，同样成立 $$\overline{\bigcup_{n=1}^\infty A_n} = \bigcap_{n=1}^\infty \overline{A_n}, \quad \overline{\bigcap_{n=1}^\infty A_n} = \bigcup_{n=1}^\infty \overline{A_n}.$$ 可列情形时概率也有公式 $$P\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right) = 1-P\left(\bigcap_{n=1}^\infty \overline{A_n}\right).$$

应用

利用它可以证明很多有用的关系式，例如下式 $$\bigcup_{i=1}^n A_i = \sum_{i=1}^n \overline{A_1}~\overline{A_2}\cdots\overline{A_{i-1}}A_i.$$ 等式两边同时加上$\bigcap_{i=1}^n \overline{A_i}$，即为$\mathit{\Omega}$，右侧利用$A_i + \overline{A_i} = \mathit{\Omega}$，即可得证。

参考资料

1. 李贤平, 《概率论基础（第3版）》, 高等教育出版社, 北京, 2010-04, ISBN 978-7-0402-8890-2.