De Moivre 公式

棣莫弗公式是一个关于复数和三角函数的公式，命名自法国数学家亚伯拉罕·棣莫弗（Abraham de Moivre）。

内容

对任意复数$x$ 和整数$n$，下列性质成立： $$\left( \cos x + \text{i} \sin x \right)^n = \cos nx + \text{i} \sin nx.$$ 其中$i$是虚数单位。方便起见，我们常常将$\cos x + \text{i} \sin x$合并为另一个三角函数$\operatorname{cis} x$，也就是说： $$\operatorname{cis}^n x = \operatorname{cis} nx.$$ 一般我们常常限制$x \in \R$，这样一来就可借由比较虚部与实部的方式把$\cos nx$和$\sin nx$变化为$\cos x$和$\sin x$的形式。

证明

证明的思路是用数学归纳法证明正整数的情形，并推广到负整数。

令$P(n) = (\cos \theta + \text{i} \sin \theta)^n = \cos (n\theta) + \text{i} \sin (n\theta) , n \in \N.$

1. 当$n=0$时，显然成立。
2. 当$n=1$时，显然成立。
3. 当$n>1$时：假设$P(k)$成立，即$(\cos\theta + \text{i}\sin\theta)^k = \cos (k\theta) + \text{i}\sin(k\theta)$，当$n=k+1$时：$$\begin{align} (\cos\theta + \text{i} \sin\theta)^{k+1} & = (\cos \theta + \text{i} \sin \theta)^k \cdot (\cos \theta + \text{i} \sin \theta) \\ & = (\cos k\theta + \text{i} \sin k\theta) \cdot (\cos \theta + \text{i} \sin \theta) \\ & = (\cos k\theta \cdot \cos \theta + \text{i} \sin k\theta \cdot \text{i} \sin \theta) + (\cos k\theta \cdot \text{i} \sin \theta + \text{i} \sin k\theta \cdot \cos \theta) \\ & = (\cos k\theta \cdot \cos \theta - \sin k\theta \cdot \sin\theta) + \text{i} (\cos k\theta \cdot \sin \theta + \sin k\theta \cdot \cos \theta) \\ & ~\overset{(1)}{=\!=} \cos (k\theta + \theta) + \text{i} \sin (k\theta + \theta) \\ & = \cos [(k+1)\theta] + \text{i} \sin [(k+1)\theta]. \end{align}$$等号(1)处使用和角公式。因此，$P(k+1)$也成立。

综上所述，根据数学归纳法，$\forall n \in \N, P(n)$成立。

另外，由恒等式： $$(\cos (n \theta) + \text{i} \sin (n \theta)) \cdot (\cos (-n \theta) + \text{i} \sin (-n \theta)) = 1.$$ 可知，公式对于负整数情况也成立。证毕。