d' Alembert 公式

d' Alembert 公式（达朗贝尔公式）是一个一维波方程的解公式。

内容

假设有一维的波方程的 Cauchy 问题

$$\begin{cases} u_{tt} - u_{xx} = 0, & \text{in } \R \times (0, +\infty),\\ u = g(x), u_t = h(x), & \text{on } \R \times \{ t = 0 \}. \end{cases}$$

这里$u = u(x, t)$是未知函数，$g$是已知的二阶连续函数，$h$是已知的一阶连续函数。那么它的解是

$$u(x, t) = \dfrac{g(x+t)+g(x-t)}{2} + \dfrac{1}{2} \int_{x-t}^{x+t} h(y) \mathrm{d}y.$$

且对初值是连续依赖的。

求解

假设有

$$\begin{cases} u_{tt} - u_{xx} = 0, & \text{in } \R \times (0, +\infty),\\ u = g(x), u_t = h(x), & \text{on } \R \times \{ t = 0 \}. \end{cases}$$

作可逆的参数变换$\xi = x + t, \eta = x - t$，于是得到上述方程$u_{tt} - u_{xx} = 0$等价于$u_{\xi\eta} = 0$，这个方程的通解是$\psi(\xi, \eta) = F(\xi) + G(\eta).$于是不难得到原方程$u_{tt} - u_{xx} = 0$的通解是$u(x, t) = F(x+t) + G(x-t).$注意到初始条件$u(x, 0) = g(x), u_t(x, 0) = h(x).$带入初值条件解出方程组即可得到解的公式。

半平面问题

假设有一维的如下 Cauchy 问题

$$\begin{cases} u_{tt} - u_{xx} = 0, & \text{in } \R^+ \times (0, +\infty), \\ u = g(x), u_t = h(x), & \text{on } \R^+ \times \{ t = 0 \}, \\ u(0, 0) = 0. \end{cases}$$

这里$u = u(x, t)$是未知函数，$g \in C^2(\R), h \in C^1(\R)$且满足$g(0) = h(0) = 0.$那么它的解是

$$u(x,t)={\dfrac {g(x+t)+\operatorname {sgn}(x-t)g(|x-t|)}{2}}+{\dfrac {1}{2}}\int _{|x-t|}^{x+t}h(y)\mathrm {d} y.$$

且对初值是连续依赖的。

这个问题的求解用到了反射手段，对$u, g, h$作奇延拓使之定义到全空间上去。

$${\begin{aligned}{\tilde {u}}(x,t)&:=(\operatorname {sgn} x)u(|x|,t),\\{\tilde {g}}(x,t)&:=(\operatorname {sgn} x)g(|x|),\\{\tilde {h}}(x,t)&:=(\operatorname {sgn} x)h(|x|).\end{aligned}}$$

而下述方程

$$\begin{cases} \tilde{u}_{tt} - \tilde{u}_{xx} = 0, & \text{in } \R \times (0, +\infty),\\ \tilde{u} = \tilde{g}(x), \tilde{u}_t = \tilde{h}(x), & \text{on } \R \times \{ t = 0 \}. \end{cases}$$

的解由 d' Alembert 公式不难得到

$$\tilde{u}(x, t) = \dfrac{\tilde{g}(x+t)+\tilde{g}(x-t)}{2} + \dfrac{1}{2} \int_{x-t}^{x+t} \tilde{h}(y) \mathrm{d}y.$$

代回原来的函数就是

$$u(x,t)={\dfrac {g(x+t)+\operatorname {sgn}(x-t)g(|x-t|)}{2}}+{\dfrac {1}{2}}\int _{|x-t|}^{x+t}h(y)\mathrm {d} y.$$

注意半平面及其类似问题中，必须要求这些给定的初值条件在边界处是相容的（这个问题中是$g(0) = h(0) = 0$），否则作延拓时会出现不连续的情况从而无法求解。