Clarkson 不等式 是 Lp 空间 中函数关于范数的一个不等式 。
内容 [ ]
设
f
,
g
∈
L
p
(
E
)
,
2
⩽
p
<
+
∞
,
1
p
+
1
q
=
1.
{\displaystyle f, g \in L^p(E), 2 \leqslant p < + \infty, \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1.}
‖
f
+
g
2
‖
p
p
+
‖
f
−
g
2
‖
p
p
⩽
‖
f
‖
p
p
+
‖
g
‖
p
p
2
;
{\displaystyle \left\| \dfrac{f+g}{2} \right\|_p^p + \left\| \dfrac{f-g}{2} \right\|_p^p \leqslant \dfrac{\| f \|_p^p + \| g \|_p^p}{2};}
‖
f
+
g
2
‖
p
q
+
‖
f
−
g
2
‖
p
q
⩾
(
‖
f
‖
p
p
+
‖
g
‖
p
p
2
)
q
−
1
.
{\displaystyle \left\| \dfrac{f+g}{2} \right\|_p^q + \left\| \dfrac{f-g}{2} \right\|_p^q \geqslant \left( \dfrac{\| f \|_p^p + \| g \|_p^p}{2} \right)^{q-1}.}
当
1
<
p
⩽
2
{\displaystyle 1 < p \leqslant 2}
时不等号反向。当
p
=
2
{\displaystyle p = 2}
时,上面两个不等式共同得到
L
2
{\displaystyle L^2}
空间的平行四边形恒等式,因此这个不等式可以看做是平行四边形恒等式的推广。该不等式最早被用来证明
L
p
{\displaystyle L^p}
空间的一致凸性 ,参见Clarkson, James A., Uniformly Convex Spaces. , Transactions of the American Mathematical Society 40 (1936), JSTOR, DOI 10.2307/1989630
, MR 1501880
.
上述不等式可以统一写为
(
‖
f
+
g
‖
p
r
+
‖
f
−
g
‖
p
r
)
1
/
r
⩽
2
1
/
s
′
(
‖
f
‖
p
s
+
‖
g
‖
p
s
)
1
/
s
.
{\displaystyle (\|f+g\|_{p}^{r}+\|f-g\|_{p}^{r})^{1/r}\leqslant 2^{1/s'}(\|f\|_{p}^{s}+\|g\|_{p}^{s})^{1/s}.}
其中
s
′
{\displaystyle s'}
是
s
{\displaystyle s}
的共轭指标,证明参见
#一般形式的证明 。
第一不等式的简洁证明 [ ]
假设
p
⩾
2
{\displaystyle p\geqslant 2}
,对第一个不等式,我们仅需证明
|
a
+
b
|
p
+
|
a
−
b
|
p
⩽
2
p
−
1
(
|
a
|
p
+
|
b
|
p
)
,
∀
a
,
b
∈
C
.
{\displaystyle |a+b|^{p}+|a-b|^{p}\leqslant 2^{p-1}(|a|^{p}+|b|^{p}),\quad \forall a,b\in \mathbb {C} .}
实际上
(
|
a
+
b
|
p
+
|
a
−
b
|
p
)
1
/
p
⩽
(
|
a
+
b
|
2
+
|
a
−
b
|
2
)
1
/
2
=
2
1
/
2
(
|
a
|
2
+
|
b
|
2
)
1
/
2
⩽
2
1
/
2
(
2
(
p
−
2
)
/
p
(
|
a
|
p
+
|
b
|
p
)
2
/
p
)
1
/
2
⩽
2
(
p
−
1
)
/
p
(
|
a
|
p
+
|
b
|
p
)
1
/
p
.
{\displaystyle {\begin{aligned}(|a+b|^{p}+|a-b|^{p})^{1/p}&\leqslant (|a+b|^{2}+|a-b|^{2})^{1/2}\\&=2^{1/2}(|a|^{2}+|b|^{2})^{1/2}\\&\leqslant 2^{1/2}(2^{(p-2)/p}(|a|^{p}+|b|^{p})^{2/p})^{1/2}\\&\leqslant 2^{(p-1)/p}(|a|^{p}+|b|^{p})^{1/p}.\end{aligned}}}
第一个不等号是
Jensen 不等式 对
f
(
x
)
=
|
x
|
p
/
2
{\displaystyle f(x)=|x|^{p/2}}
使用,第二个不等式是
Hölder 不等式 ,指标是
p
2
{\displaystyle \dfrac{p}{2}}
和
p
p
−
2
.
{\displaystyle {\dfrac {p}{p-2}}.}
当
1
<
p
⩽
2
{\displaystyle 1 < p \leqslant 2}
,上述关系式都反向。
一般不等式的证明 [ ]
我们来叙述并证明一般的不等式。
假设
1
<
s
⩽
p
⩽
r
,
r
′
⩽
s
{\displaystyle 1<s\leqslant p\leqslant r,r'\leqslant s}
,我们有
(
‖
f
+
g
‖
p
r
+
‖
f
−
g
‖
p
r
)
1
/
r
⩽
2
1
/
s
′
(
‖
f
‖
p
s
+
‖
g
‖
p
s
)
1
/
s
.
{\displaystyle (\|f+g\|_{p}^{r}+\|f-g\|_{p}^{r})^{1/r}\leqslant 2^{1/s'}(\|f\|_{p}^{s}+\|g\|_{p}^{s})^{1/s}.}
关于这个定理/命题的证明,单击这里以显示/折叠
首先,我们有积分形式的不等式
(
‖
f
+
g
‖
p
r
+
‖
f
−
g
‖
p
r
)
1
/
r
⩽
‖
(
|
f
+
g
|
r
+
|
f
−
g
|
r
)
1
/
r
‖
p
,
r
⩾
p
.
{\displaystyle (\|f+g\|_{p}^{r}+\|f-g\|_{p}^{r})^{1/r}\leqslant \|(|f+g|^{r}+|f-g|^{r})^{1/r}\|_{p},\quad r\geqslant p.}
‖
(
|
f
|
s
+
|
g
|
s
)
1
/
s
‖
p
⩽
(
‖
f
‖
p
s
+
‖
g
‖
p
s
)
1
/
s
s
⩽
p
.
{\displaystyle \|(|f|^{s}+|g|^{s})^{1/s}\|_{p}\leqslant (\|f\|_{p}^{s}+\|g\|_{p}^{s})^{1/s}\quad s\leqslant p.}
因此我们只需要证明关于复数的关系式
(
|
a
+
b
|
r
+
|
a
−
b
|
r
)
1
/
r
⩽
2
1
/
s
′
(
|
a
|
s
+
|
b
|
s
)
1
/
s
,
∀
a
,
b
∈
C
.
{\displaystyle (|a+b|^{r}+|a-b|^{r})^{1/r}\leqslant 2^{1/s'}(|a|^{s}+|b|^{s})^{1/s},\quad \forall a,b\in \mathbb {C} .}
构造
(
C
2
,
‖
⋅
‖
s
)
→
(
C
2
,
‖
⋅
‖
r
)
{\displaystyle (\mathbb {C} ^{2},\|\cdot \|_{s})\to (\mathbb {C} ^{2},\|\cdot \|_{r})}
的有界线性算子
T
(
a
b
)
=
(
a
+
b
a
−
b
)
.
{\displaystyle T{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a+b\\a-b\end{pmatrix}}.}
那么
‖
T
‖
2
,
2
=
2
,
‖
T
‖
∞
,
∞
=
2
,
‖
T
‖
2
,
∞
=
2
,
‖
T
‖
1
,
∞
=
1.
{\displaystyle \|T\|_{2,2}={\sqrt {2}},\quad \|T\|_{\infty ,\infty }=2,\quad \|T\|_{2,\infty }={\sqrt {2}},\quad \|T\|_{1,\infty }=1.}
根据
Riesz-Thorin 内插定理 ,第一个和第三个相等就表明对每个
s
{\displaystyle s}
,
‖
T
‖
s
,
r
{\displaystyle \|T\|_{s,r}}
有一个和
r
{\displaystyle r}
无关的界,于是我们只需要确定
1
<
s
<
2
{\displaystyle 1<s<2}
,用第一个和第四个结果,
1
s
=
1
−
θ
2
+
θ
,
1
r
0
=
1
−
θ
2
+
θ
∞
⟹
‖
f
‖
s
,
r
=
‖
f
‖
s
,
r
0
⩽
2
1
−
θ
1
θ
=
2
1
/
s
′
.
{\displaystyle {\dfrac {1}{s}}={\dfrac {1-\theta }{2}}+\theta ,\quad {\dfrac {1}{r_{0}}}={\dfrac {1-\theta }{2}}+{\dfrac {\theta }{\infty }}\Longrightarrow \|f\|_{s,r}=\|f\|_{s,r_{0}}\leqslant {\sqrt {2}}^{1-\theta }1^{\theta }=2^{1/s'}.}
2
<
s
<
∞
{\displaystyle 2<s<\infty }
,用第一个和第二个结果,
1
s
=
1
−
θ
2
+
θ
∞
,
1
r
0
=
1
−
θ
2
+
θ
∞
⟹
‖
f
‖
s
,
r
=
‖
f
‖
s
,
r
0
⩽
2
1
−
θ
2
θ
=
2
1
/
s
′
.
{\displaystyle {\dfrac {1}{s}}={\dfrac {1-\theta }{2}}+{\dfrac {\theta }{\infty }},\quad {\dfrac {1}{r_{0}}}={\dfrac {1-\theta }{2}}+{\dfrac {\theta }{\infty }}\Longrightarrow \|f\|_{s,r}=\|f\|_{s,r_{0}}\leqslant {\sqrt {2}}^{1-\theta }2^{\theta }=2^{1/s'}.}
这个证明方法参见Boas Jr, Ralph P, Some uniformly convex spaces , Bull. Amer. Math. Soc. 46 (1940-04), p304-311.