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Clarkson 不等式Lp 空间中函数关于范数的一个不等式

内容[]

时不等号反向。当时,上面两个不等式共同得到空间的平行四边形恒等式,因此这个不等式可以看做是平行四边形恒等式的推广。该不等式最早被用来证明空间的一致凸性,参见Clarkson, James A., Uniformly Convex Spaces., Transactions of the American Mathematical Society 40(1936), JSTOR, DOI 10.2307/1989630, MR 1501880.

上述不等式可以统一写为

其中的共轭指标,证明参见#一般形式的证明

第一不等式的简洁证明[]

假设,对第一个不等式,我们仅需证明

实际上
第一个不等号是 Jensen 不等式使用,第二个不等式是 Hölder 不等式,指标是,上述关系式都反向。

一般不等式的证明[]

我们来叙述并证明一般的不等式。

假设,我们有
关于这个定理/命题的证明,单击这里以显示/折叠

首先,我们有积分形式的不等式

因此我们只需要证明关于复数的关系式
构造的有界线性算子
那么
根据 Riesz-Thorin 内插定理,第一个和第三个相等就表明对每个有一个和无关的界,于是我们只需要确定

  1. ,用第一个和第四个结果,
  2. ,用第一个和第二个结果,

这个证明方法参见Boas Jr, Ralph P, Some uniformly convex spaces, Bull. Amer. Math. Soc. 46(1940-04), p304-311.

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