Chebyshev 多項式

Chebyshev 多項式（切比雪夫多項式）是一類多項式空間上的某個內積的正交多項式，它有兩類多項式：第一類 Chebyshev 多項式和第二類 Chebyshev 多項式。

遞推定義[]

一般的 Chebyshev 多項式指的是第一類的，它是通過餘弦函數來定義的。稱在 $[-1, 1]$ 有定義的如下函數列 $\{ T_n \}_{n=0}$ 為第一類 Chebyshev 多項式。

T_n (x) = \cos (n \arccos x), \quad n \in \N^+.

令

x = \cos \theta

，有

T_n (\cos \theta) = \cos (n \theta), \quad \theta \in [0, \pi], n \in \N^+.

因此由余弦函數的和差化積公式有如下遞推公式

T_n (x) = 2x T_{n-1} (x) - T_{n-2} (x), \quad n = 2, 3, \cdots.

且初始迭代

T_0 (x) = 1, \quad T_1 (x) = x.

{\displaystyle \begin{align} T_n (x) &= \sum_{k=0}^{\left[ \frac{n}{2} \right]} (-1)^k \binom{n}{2k} x^{n-2k} (1-x^2)^k \\ &= \dfrac{n}{2} \sum_{k=0}^{\left[ \frac{n}{2} \right]} (-1)^k \dfrac{(n-k-1)!}{k! (n-2k)!} (2x)^{n-2k}. \end{align}}

第一類多項式是 Jacobi 多項式的特例，即

T_n(x) = F \! \left( -n, n, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1-x}{2} \right).

這表示

T_n(1-2z)

z(1-z) w'' + \left( \dfrac{1}{2}-z \right) w' + n^2 w = 0

的多項式解，該方程的另一個非多項式解為

\sqrt{z} F \! \left( \dfrac{1-2n}{2}, \dfrac{1+2n}{2}, \dfrac{3}{2}, z \right).

$T_n$ 的最高項係數為 $2^{n-1}, n > 0.$
$T_n$ 當 $n$ 為奇數時多項式只有奇數項；當 $n$ 為偶數時多項式只有偶數項。
$T_n$ 在 $[-1, 1]$ 上有 $n$ 個實根 $\cos \dfrac{(2k-1)\pi}{2n}, k = 1,2\cdots,n, n > 0.$
$T_n$ 是內積 $\int_{-1}^1 \dfrac{T_m(x) T_n (x)}{\sqrt{1-x^2}} \mathrm{d}x$ 的正交基函數（正交基底），即有 $\int_{-1}^1 \dfrac{T_m(x) T_n (x)}{\sqrt{1-x^2}} \mathrm{d}x = \begin{cases} 0, & m \ne n, \\ \pi, & m = n = 0, \\ \dfrac{\pi}{2}, & m = n > 0. \end{cases}$
$T_n$ 的母函數是 $\sum_{n=0}^\infty T_n (x) s^n = \dfrac{1-sx}{1-2sx+s^2}.$
導數關係： $T_n (x) = (-1)^n \dfrac{2^n n!}{(2n)!} \sqrt{1-x^2} \dfrac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n} (1-x^2)^{n-\frac{1}{2}}.$ 此外還有 $\begin{align} (1-x^2) T_n' (x) & = \dfrac{n}{2} [T_{n-1} (x) - T_{n+1} (x)] \\ & = n [T_{n-1} (x) - x T_n (x)] \end{align}$
最優性質：假設 $\mathbb{P}_n[x]$ 表示最高次方係數為 $2^{n-1}$ 的所有 $n$ 次多項式之全體，那麼 $T_n(x)$ 是 $[-1, 1]$ 與零偏差最小的多項式，即 $T_n(x) = \arg \min_{f(x) \in \mathbb{P}_n[x]} \min_{x \in [-1, 1]} |f(x)|.$

函數逼近論（學科代碼：1104140，GB/T 13745—2009）
函數插值	Lagrange 插值 ▪ Neville 插值 ▪ 差商和差分 ▪ Newton 插值 ▪ Hermite 插值 ▪ 分段三次多項式插值
函數逼近	最佳一致逼近 ▪ 最佳平方逼近
正交多項式	Chebyshev 多項式和 Clenshaw 遞推公式 ▪ Legendre 多項式 ▪ Laguerre 多項式 ▪ Hermite 多項式
數值積分	Newton-Cotes 求積公式 ▪ Gauss 求積公式 ▪ 復化求積公式 ▪ Romberg 算法 ▪ 數值微分
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特殊函數論（學科代碼：1104170，GB/T 13745—2009）
特殊多項式	正交多項式 ▪ Bernoulli 多項式 ▪ Euler 多項式 ▪ Chebyshev 多項式 ▪ Legendre 多項式 ▪ Laguerre 多項式 ▪ Hermite 多項式
Euler 積分	Γ 函數 ▪ Euler 無窮乘積公式 ▪ Weierstrass 無窮乘積公式 ▪ 對數 Γ 函數 ▪ Dirichlet 積分 ▪ Β 函數 ▪ Riemann ζ 函數 ▪ Hermite 公式
超幾何函數	超幾何級數 ▪ 超幾何方程 ▪ Barnes 積分 ▪ Jacobi 多項式 ▪ Kummer 公式 ▪ 廣義超幾何函數
合流超幾何函數	Whittaker 方程 ▪ Whittaker 函數 ▪ 第二類 Whittaker 函數 ▪ Weber 方程 ▪ Hermite 函數
Legendre 函數	Legendre 方程 ▪ Rodrigues 公式 ▪ 第二類 Legendre 函數
Bessel 函數	Bessel 方程 ▪ 第二類 Bessel 函數 ▪ 第三類 Bessel 函數 ▪ 變型 Bessel 函數 ▪ 球 Bessel 函數 ▪ Thomson 函數 ▪ Neumann 展開
橢圓函數	橢圓積分 ▪ ϑ 函數 ▪ 全橢圓積分 ▪ Jacobi 橢圓函數 ▪ 第二類橢圓積分 ▪ 第三類橢圓積分 ▪ Leme 函數
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