Chebyshev 多项式(切比雪夫多项式)是一类多项式空间上的某个内积的正交多项式,它有两类多项式:第一类 Chebyshev 多项式和第二类 Chebyshev 多项式。
递推定义[]
一般的 Chebyshev 多项式指的是第一类的,它是通过余弦函数来定义的。称在
有定义的如下函数列
为第一类 Chebyshev 多项式。

令

,有
![{\displaystyle T_{n}(\cos \theta )=\cos(n\theta ),\quad \theta \in [0,\pi ],n\in \mathbb {N} ^{+}.}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/344f00de005dbdd0bc3835772d2dc005ad344656)
因此由余弦函数的
和差化积公式有如下递推公式

且初始迭代

具体表达式[]
![{\displaystyle {\begin{aligned}T_{n}(x)&=\sum _{k=0}^{\left[{\frac {n}{2}}\right]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}x^{n-2k}(1-x^{2})^{k}\\&={\dfrac {n}{2}}\sum _{k=0}^{\left[{\frac {n}{2}}\right]}(-1)^{k}{\dfrac {(n-k-1)!}{k!(n-2k)!}}(2x)^{n-2k}.\end{aligned}}}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/0395bf9a79ba15e7707ba1eb4d581749c4e9801a)
第一类多项式是
Jacobi 多项式的特例,即

这表示

是
超几何方程

的多项式解,该方程的另一个非多项式解为
性质[]
的最高项系数为
当
为奇数时多项式只有奇数项;当
为偶数时多项式只有偶数项。
在
上有
个实根
是内积
的正交基函数(正交基底),即有
的母函数是
- 导数关系:
此外还有![{\displaystyle {\begin{aligned}(1-x^{2})T_{n}'(x)&={\dfrac {n}{2}}[T_{n-1}(x)-T_{n+1}(x)]\\&=n[T_{n-1}(x)-xT_{n}(x)]\end{aligned}}}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/fb534bd85d8637537bd4990c6d241cadfb50d2e7)
- 最优性质:假设
表示最高次方系数为
的所有
次多项式之全体,那么
是
与零偏差最小的多项式,即![{\displaystyle T_{n}(x)=\arg \min _{f(x)\in \mathbb {P} _{n}[x]}\min _{x\in [-1,1]}|f(x)|.}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/65105d199171ff8c5ff27ab358a40f82feadb722)
其他关系[]


参考资料
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