Chebyshev 多項式

Chebyshev 多項式（切比雪夫多項式）是一類多項式空間上的某個內積的正交多項式，它有兩類多項式：第一類 Chebyshev 多項式和第二類 Chebyshev 多項式。

遞推定義

一般的 Chebyshev 多項式指的是第一類的，它是通過餘弦函數來定義的。稱在$[-1, 1]$有定義的如下函數列$\{ T_n \}_{n=0}$為第一類 Chebyshev 多項式。 $$T_n (x) = \cos (n \arccos x), \quad n \in \N^+.$$ 令$x = \cos \theta$，有 $$T_n (\cos \theta) = \cos (n \theta), \quad \theta \in [0, \pi], n \in \N^+.$$ 因此由余弦函數的和差化積公式有如下遞推公式 $$T_n (x) = 2x T_{n-1} (x) - T_{n-2} (x), \quad n = 2, 3, \cdots.$$ 且初始迭代 $$T_0 (x) = 1, \quad T_1 (x) = x.$$

具體表達式

$$\begin{align} T_n (x) &= \sum_{k=0}^{\left[ \frac{n}{2} \right]} (-1)^k \binom{n}{2k} x^{n-2k} (1-x^2)^k \\ &= \dfrac{n}{2} \sum_{k=0}^{\left[ \frac{n}{2} \right]} (-1)^k \dfrac{(n-k-1)!}{k! (n-2k)!} (2x)^{n-2k}. \end{align}$$ 第一類多項式是 Jacobi 多項式的特例，即 $$T_n(x) = F \! \left( -n, n, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1-x}{2} \right).$$ 這表示$T_n(1-2z)$是超幾何方程 $$z(1-z) w'' + \left( \dfrac{1}{2}-z \right) w' + n^2 w = 0$$ 的多項式解，該方程的另一個非多項式解為$\sqrt{z} F \! \left( \dfrac{1-2n}{2}, \dfrac{1+2n}{2}, \dfrac{3}{2}, z \right).$

性質

1. $T_n$的最高項係數為$2^{n-1}, n > 0.$
2. $T_n$當$n$為奇數時多項式只有奇數項；當$n$為偶數時多項式只有偶數項。
3. $T_n$在$[-1, 1]$上有$n$個實根$\cos \dfrac{(2k-1)\pi}{2n}, k = 1,2\cdots,n, n > 0.$
4. $T_n$是內積$\int_{-1}^1 \dfrac{T_m(x) T_n (x)}{\sqrt{1-x^2}} \mathrm{d}x$的正交基函數（正交基底），即有$$\int_{-1}^1 \dfrac{T_m(x) T_n (x)}{\sqrt{1-x^2}} \mathrm{d}x = \begin{cases} 0, & m \ne n, \\ \pi, & m = n = 0, \\ \dfrac{\pi}{2}, & m = n > 0. \end{cases}$$
5. $T_n$的母函數是$$\sum_{n=0}^\infty T_n (x) s^n = \dfrac{1-sx}{1-2sx+s^2}.$$
6. 導數關係：$T_n (x) = (-1)^n \dfrac{2^n n!}{(2n)!} \sqrt{1-x^2} \dfrac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n} (1-x^2)^{n-\frac{1}{2}}.$此外還有$$\begin{align} (1-x^2) T_n' (x) & = \dfrac{n}{2} [T_{n-1} (x) - T_{n+1} (x)] \\ & = n [T_{n-1} (x) - x T_n (x)] \end{align}$$
7. 最優性質：假設$\mathbb{P}_n[x]$表示最高次方係數為$2^{n-1}$的所有$n$次多項式之全體，那麼$T_n(x)$是$[-1, 1]$與零偏差最小的多項式，即$$T_n(x) = \arg \min_{f(x) \in \mathbb{P}_n[x]} \min_{x \in [-1, 1]} |f(x)|.$$

其他關係

1. $\ln (1-2sx+s^2)^{-1} = 2 \sum_{n=1}^\infty \dfrac{T_n(x)}{n} s^n.$
2. $\int_{-1}^1 T_n^2(x)\mathrm{d}x = 1 - \dfrac{1}{4n^2-1}.$

參考資料

1. 王竹溪, 郭敦仁, 《特殊函數概論》, 北京大學出版社, 北京, 2000-05, ISBN 978-7-3010-4530-5.

參考資料

1. 王竹溪, 郭敦仁, 《特殊函數概論》, 北京大學出版社, 北京, 2000-05, ISBN 978-7-3010-4530-5.