Chebyshev 多项式

Chebyshev 多项式（切比雪夫多项式）是一类多项式空间上的某个内积的正交多项式，它有两类多项式：第一类 Chebyshev 多项式和第二类 Chebyshev 多项式。

递推定义[]

一般的 Chebyshev 多项式指的是第一类的，它是通过余弦函数来定义的。称在 $[-1, 1]$ 有定义的如下函数列 $\{ T_n \}_{n=0}$ 为第一类 Chebyshev 多项式。

T_n (x) = \cos (n \arccos x), \quad n \in \N^+.

令

x = \cos \theta

，有

T_n (\cos \theta) = \cos (n \theta), \quad \theta \in [0, \pi], n \in \N^+.

因此由余弦函数的和差化积公式有如下递推公式

T_n (x) = 2x T_{n-1} (x) - T_{n-2} (x), \quad n = 2, 3, \cdots.

且初始迭代

T_0 (x) = 1, \quad T_1 (x) = x.

{\displaystyle \begin{align} T_n (x) &= \sum_{k=0}^{\left[ \frac{n}{2} \right]} (-1)^k \binom{n}{2k} x^{n-2k} (1-x^2)^k \\ &= \dfrac{n}{2} \sum_{k=0}^{\left[ \frac{n}{2} \right]} (-1)^k \dfrac{(n-k-1)!}{k! (n-2k)!} (2x)^{n-2k}. \end{align}}

第一类多项式是 Jacobi 多项式的特例，即

T_n(x) = F \! \left( -n, n, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1-x}{2} \right).

这表示

T_n(1-2z)

z(1-z) w'' + \left( \dfrac{1}{2}-z \right) w' + n^2 w = 0

的多项式解，该方程的另一个非多项式解为

\sqrt{z} F \! \left( \dfrac{1-2n}{2}, \dfrac{1+2n}{2}, \dfrac{3}{2}, z \right).

$T_n$ 的最高项系数为 $2^{n-1}, n > 0.$
$T_n$ 当 $n$ 为奇数时多项式只有奇数项；当 $n$ 为偶数时多项式只有偶数项。
$T_n$ 在 $[-1, 1]$ 上有 $n$ 个实根 $\cos \dfrac{(2k-1)\pi}{2n}, k = 1,2\cdots,n, n > 0.$
$T_n$ 是内积 $\int_{-1}^1 \dfrac{T_m(x) T_n (x)}{\sqrt{1-x^2}} \mathrm{d}x$ 的正交基函数（正交基底），即有 $\int_{-1}^1 \dfrac{T_m(x) T_n (x)}{\sqrt{1-x^2}} \mathrm{d}x = \begin{cases} 0, & m \ne n, \\ \pi, & m = n = 0, \\ \dfrac{\pi}{2}, & m = n > 0. \end{cases}$
$T_n$ 的母函数是 $\sum_{n=0}^\infty T_n (x) s^n = \dfrac{1-sx}{1-2sx+s^2}.$
导数关系： $T_n (x) = (-1)^n \dfrac{2^n n!}{(2n)!} \sqrt{1-x^2} \dfrac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n} (1-x^2)^{n-\frac{1}{2}}.$ 此外还有 $\begin{align} (1-x^2) T_n' (x) & = \dfrac{n}{2} [T_{n-1} (x) - T_{n+1} (x)] \\ & = n [T_{n-1} (x) - x T_n (x)] \end{align}$
最优性质：假设 $\mathbb{P}_n[x]$ 表示最高次方系数为 $2^{n-1}$ 的所有 $n$ 次多项式之全体，那么 $T_n(x)$ 是 $[-1, 1]$ 与零偏差最小的多项式，即 $T_n(x) = \arg \min_{f(x) \in \mathbb{P}_n[x]} \min_{x \in [-1, 1]} |f(x)|.$

函数逼近论（学科代码：1104140，GB/T 13745—2009）
函数插值	Lagrange 插值 ▪ Neville 插值 ▪ 差商和差分 ▪ Newton 插值 ▪ Hermite 插值 ▪ 分段三次多项式插值
函数逼近	最佳一致逼近 ▪ 最佳平方逼近
正交多项式	Chebyshev 多项式和 Clenshaw 递推公式 ▪ Legendre 多项式 ▪ Laguerre 多项式 ▪ Hermite 多项式
数值积分	Newton-Cotes 求积公式 ▪ Gauss 求积公式 ▪ 复化求积公式 ▪ Romberg 算法 ▪ 数值微分
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特殊函数论（学科代码：1104170，GB/T 13745—2009）
特殊多项式	正交多项式 ▪ Bernoulli 多项式 ▪ Euler 多项式 ▪ Chebyshev 多项式 ▪ Legendre 多项式 ▪ Laguerre 多项式 ▪ Hermite 多项式
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