Chebyshev 同调不等式

Chebyshev 同调不等式是积分理论中关于函数同调的一个不等式。

内容

它的一般形式是：设$f(x), g(x)$在$[a, b]$上连续，且对任意$x < y, x, y \in [a, b]$都有$(f(x) - f(y)) (g(x) - g(y)) \geqslant 0$，函数$h(x)$在$[a, b]$上可积恒正，则

$$\left( \int_a^b f(x) h(x) \mathrm{d}x \right) \left( \int_a^b g(x) h(x) \mathrm{d}x \right) \leqslant \left( \int_a^b h(x) \mathrm{d}x \right) \left( \int_a^b f(x) g(x) h(x) \mathrm{d}x \right).$$

若上述条件中$(f(x) - f(y)) (g(x) - g(y)) \leqslant 0$，则在结论中不等号反向。

特例

假设同上，$f(x), g(x)$在$[a, b]$上同调，以下情形是它的一些特例：

1. 取$h(x) = 1$，则有
   $$\left( \int_a^b f(x) \mathrm{d}x \right) \left( \int_a^b g(x) \mathrm{d}x \right) \leqslant \left( b-a \right) \left( \int_a^b f(x) g(x) \mathrm{d}x \right).$$
2. 取$h(x) = x$，则有
   $$\int_a^b x f(x) \mathrm{d}x \leqslant \dfrac{a+b}{2} \left( \int_a^b f(x) \mathrm{d}x \right).$$
3. 取$h(x) = 1, \forall p > 0, q > 0$，则有
   $$\left( \int_a^b |f(x)|^p \mathrm{d}x \right) \left( \int_a^b |f(x)|^q \mathrm{d}x \right) \leqslant \left( b-a \right) \left( \int_a^b |f(x)|^{p+q} \mathrm{d}x \right).$$

证明

我们仅就$[a,b]=[0,1]$的情形证明，对任意的等距分割$\Delta :0=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}=1$，$x_{i}=i/n$而言，令$f_{k}=f(x_{k}),g_{k}=g(x_{k}),h_{k}=h(x_{k})$，由可积性我们有

$${\begin{aligned}&\quad ~\left(\int _{0}^{1}f(x)g(x)h(x)\mathrm {d} x\right)\left(\int _{0}^{1}h(x)\mathrm {d} x\right)-\left(\int _{0}^{1}f(x)h(x)\mathrm {d} x\right)\left(\int _{0}^{1}g(x)\mathrm {d} x\right)\\&=\lim _{n\to \infty }\left[{\dfrac {1}{n^{2}}}\left(\sum _{k=1}^{n}f_{k}g_{k}h_{k}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}h_{k}\right)-{\dfrac {1}{n^{2}}}\left(\sum _{k=1}^{n}f_{k}h_{k}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}g_{k}h_{k}\right)\right]\\&=\lim _{n\to \infty }{\dfrac {1}{2n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}(f_{i}-f_{j})(g_{i}-g_{j})h_{i}h_{j}\geqslant 0.\end{aligned}}$$

最后一个是下面介绍的离散形式恒等式。

离散形式

假设$\{f_{k}\}_{k=1}^{n},\{g_{k}\}_{k=1}^{n},\{h_{k}\}_{k=1}^{n}$是复数，那么成立恒等式

$$\left(\sum _{k=1}^{n}f_{k}g_{k}h_{k}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}h_{k}\right)-\left(\sum _{k=1}^{n}f_{k}h_{k}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}g_{k}h_{k}\right)={\dfrac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}(f_{i}-f_{j})(g_{i}-g_{j})h_{i}h_{j}.$$

于是，如果$\{h_{k}\}_{k=1}^{n}$非负且$(f_{i}-f_{j})(g_{i}-g_{j})\geqslant 0$（即两个数列同调），那么上式非负。

这是一个著名的代数恒等式，也归功于 Chebyshev。

证明

通过计算我们得到

$${\begin{aligned}&\quad ~\sum _{i=1}^{n}\left(\sum _{j=1}^{n}h_{j}\right)f_{i}g_{i}h_{i}-\left(\sum _{i=1}^{n}f_{i}h_{i}\right)\left(\sum _{j=1}^{n}g_{j}h_{j}\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}\left[\left(\sum _{j=1}^{n}h_{j}\right)f_{i}g_{i}h_{i}-f_{i}h_{i}\left(\sum _{j=1}^{n}g_{j}h_{j}\right)\right]\\&=\sum _{i=1}^{n}\left[f_{i}h_{i}\left(\sum _{j=1}^{n}h_{j}\right)g_{i}-\left(\sum _{j=1}^{n}g_{j}h_{j}\right)\right]\\&=\sum _{i=1}^{n}\left[f_{i}h_{i}\left(\sum _{j=1}^{n}h_{j}g_{i}-g_{j}h_{j}\right)\right]\\&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left[f_{i}h_{i}h_{j}\left(g_{i}-g_{j}\right)\right]\\\end{aligned}}$$

由对称性得到

$$\sum _{i=1}^{n}\left(\sum _{j=1}^{n}h_{j}\right)f_{i}g_{i}h_{i}-\left(\sum _{i=1}^{n}f_{i}h_{i}\right)\left(\sum _{j=1}^{n}g_{j}h_{j}\right)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left[g_{i}h_{i}h_{j}\left(f_{i}-f_{j}\right)\right]$$

于是

$${\begin{aligned}&\quad ~\sum _{i=1}^{n}\left(\sum _{j=1}^{n}h_{j}\right)f_{i}g_{i}h_{i}-\left(\sum _{i=1}^{n}f_{i}h_{i}\right)\left(\sum _{j=1}^{n}g_{j}h_{j}\right)\\&={\dfrac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left[g_{i}h_{i}h_{j}\left(f_{i}-f_{j}\right)+f_{i}h_{i}h_{j}\left(g_{i}-g_{j}\right)\right]\\&={\dfrac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left[h_{i}h_{j}\left(g_{i}f_{i}-g_{i}f_{j}+f_{i}g_{i}-f_{i}g_{j}\right)\right]\\&={\dfrac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left[h_{i}h_{j}\left(f_{i}-f_{j}\right)\left(g_{i}-g_{j}\right)\right].\end{aligned}}$$

参考资料

1. 崔尚斌, 《数学分析教程（下）》, 科学出版社, 北京, 2013-03, ISBN 978-7-0303-6807-2.