Cauchy 积分定理

Cauchy 积分定理是复变函数中的一个十分重要且基本的定理，它揭示的是复变函数的积分与路径无关性的条件问题。该定理最初由 Cauchy 在1825年提出，后来1851年 Riemann 在有附加条件的情形下给出了简单证明，1900年 Goursat 给出了完整的证明。

内容

设函数$f(z)$在单连通区域$D$上解析，且$C$是$D$中任意一条可求长的闭曲线，那么有 $$\oint_C f(z) \mathrm{d}z = 0.$$

上述定理等价于
设有简单闭曲线$C$，$D$是$C$的内部，函数$f(z)$在闭包$\overline{D} = D + C$上解析，那么有 $$\oint_C f(z) \mathrm{d}z = 0.$$

上述定理略加推广，可以得到下面更有用的定理：
设有简单闭曲线$C$，$D$是$C$的内部，函数$f(z)$在区域$D$上解析，在$C$上连续，那么有 $$\oint_C f(z) \mathrm{d}z = 0.$$

Goursat 证明

Goursat 给出的证明思路是在这个单连通区域$D$中的积分路径（简单闭曲线）用多边形去逼近，然后再用若干个三角形去分割多边形，在每个三角形中，不断通过二分将该三角形逐渐缩小，由闭集套定理可以套出一个单点，它仍然在区域$D$中，从而说明在这个三角形上积分为零。

对于有若干个重点的闭曲线，它可以在重点处分开，得到若干个简单闭曲线，应用上述讨论结果可说明此时积分为零。

多连通区域的推广

设函数$f(z)$在$n+1$连通区域$D$上解析，且$C_0$是$D$的外边界，$C_1, C_2, \cdots, C_n$是$D$的内边界，那么有 $$\int_C f(z) \mathrm{d}z = 0,$$ 其中$C = C_0+ C_1^- + C_2^- + \cdots + C_n^-$，它也可以写成 $$\oint_{C_0} f(z) \mathrm{d}z = \sum_{i=1}^n \oint_{C_i} f(z) \mathrm{d}z.$$

Morera 定理

Morera 定理（莫雷拉定理）是 Cauchy 积分定理的逆定理，它是说：

若函数$f(z)$在单连通区域$D$内连续，且对任意$D$内的周线$C$都有 $$\int_C f(z) \mathrm{d}z = 0.$$ 则$f(z)$在$D$内解析。

上下节

• 上一节：复变函数的积分
• 下一节：复变函数的不定积分

参考资料

1. 钟玉泉, 《复变函数论（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-03, ISBN 978-7-0405-5587-5.