Cauchy 积分公式

Cauchy 积分公式（柯西积分公式）给出了解析函数的积分表达式，是研究解析函数局部性质的基础。它边界值表示内部值的一个公式。

内容

设区域$D$的边界是周线$C$，复变函数$f(z)$在$D$内解析，在$D + C$上连续，则 $$f(z) = \dfrac{1}{2\pi\text{i}} \int_C \dfrac{f(\zeta)}{\zeta - z} \mathrm{d}\zeta, \quad \forall z \in D.$$ 我们称上市右端的积分为 Cauchy 积分。对于区域$D + C$，Cauchy 积分要求$f(z)$在$D + C$上仅有一个支点。

实际上，当$z \notin D$时，$\int_C \dfrac{f(\zeta)}{\zeta - z} \mathrm{d}\zeta = 0.$可以综合以上两种情形，写出 $$\dfrac{1}{2\pi\text{i}} \int_{C} \dfrac{f(\zeta)}{\zeta - z} \mathrm{d}\zeta = \begin{cases} f(z), & z \in D, \\ 0, & z \notin D. \end{cases}$$

无界区域的 Cauchy 积分公式

设$C$为一简单闭曲线，$D$为$C$的外部，函数$f(z)$在$D$内解析，在$D + C$内连续，且极限$\lim_{z \to \infty} f(z) = A$为有限数，那么 $$\dfrac{1}{2\pi\text{i}} \int_{C} \dfrac{f(\zeta)}{\zeta - z} \mathrm{d}\zeta = \begin{cases} A, & z \in I(C), \\ A+f(z), & z \notin I(C). \end{cases}$$ 其中，$I(C)$为曲线$C$的内部，$C$的方向为逆时针方向。

平均值定理

运用 Cauchy 积分公式可以推出解析函数的平均值定理：

设函数$f(z)$在开圆盘$|z-z_0| < R$上解析，在$|z - z_0| \leqslant R$上连续，那么 $$f(z_0) = \dfrac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(z_0 + R \text{e}^{\text{i}\varphi}) \mathrm{d}\varphi$$ 即$f(z)$在圆心的值等于它在圆周上值的积分均值。

解析函数的无穷可微性

设区域$D$的边界是周线$C$，复变函数$f(z)$在$D$内解析，在$D + C$上连续，则$f(z)$在$D$内任意阶可导，且 $$f^{(n)} (z) = \dfrac{n!}{2\pi\text{i}} \int_C \dfrac{f(\zeta)}{(\zeta - z)^{n+1}} \mathrm{d}\zeta, \quad \forall z \in D, n \in \N^+.$$ 导函数$f^{(n)} (z)$在$D$内也是解析函数。

Cauchy 不等式

对于解析函数的导数，有一个导数估计式，被称为 Cauchy 不等式：设区域$D$的边界是周线$C$，复变函数$f(z)$在$D$内解析，在$D + C$上连续，设$z_0 \in D$，圆周$|z - z_0| = R$及其内部全在区域$D$中，那么有 $$\left| f^{(n)} (z_0) \right| \leqslant \dfrac{n! M}{R^n}, \quad z_0 \in D.$$ 其中，$R = |z - z_0|, M = \sup_{|z - z_0| = R} |f(z)|.$实际上，$M$的定义可以改为$M = \sup_{|z - z_0| < R} |f(z)|.$

对于该不等式，可以做适当的推广，得到以下一般结果：
设区域$D$的边界是周线$C$，复变函数$f(z)$在$D$内解析，在$D + C$上连续，设$z_0 \in D$，$z_0$到$C$的最短距离是$\rho$，$C$的长度记为$l$，$M = \sup_{z \in C} |f(z)|.$那么有 $$\left| f^{(n)} (z_0) \right| \leqslant \dfrac{n! M l}{2\pi \rho^{n+1}}, \quad z_0 \in D.$$

上下节

• 上一节：复变函数的不定积分
• 下一节：复数项级数

参考资料

1. 钟玉泉, 《复变函数论（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-03, ISBN 978-7-0405-5587-5.