Cauchy 收敛准则

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Cauchy 收敛准则（柯西收敛准则）是一个用来判断数列是否收敛的方法，同时也是实数完备性的一个等价定理，需要指出的是，它的条件更弱，需要加上阿基米德性才能和其它如确界定理等的定理等价。

关于其在实数理论和其它定理的定价性，参看 /实数理论。

准则内容

Cauchy 收敛准则：数列$\{ a_n \}$收敛$\iff \forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb {N}^{+}, \forall m,n > N ,$有$|a_m - a_n| < \varepsilon.$

这等价于 $\forall \varepsilon > 0, \exists N(\varepsilon) \in \N^+$，当$n > N$时，有$|a_{n+p} - a_n| < \varepsilon, p \in \N^+.$

我们把右端的条件也称 Cauchy 条件（柯西条件），符合 Cauchy 条件的数列（也就是收敛数列）称为 Cauchy 列（柯西列）。

证明

必要性证明：
$\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N^{+}}$，当$m, n > N$时，有
$| a_m - a | < \frac{\varepsilon} {2}, | a_n - a | < \frac{\varepsilon} {2}$
$\therefore | a_n - a_m | \leqslant | a_n - a | + | a_m - a | < \varepsilon$
这就证明了$\{ a_n \}$是一个 Cauchy 列。

充分性证明可以使用确界定理或其他等价定理。

其它形式

Cauchy 收敛准则是一个从某个对象本身出发，依靠极限的工具，对对象性质进行研究的一个命题，这在分析学中应用广泛，例如它有如下体现。

函数极限

定义在$U^\circ (x_0; \delta')$上的一元实函数$f(x)$存在极限$\lim_{x \to x_0} f(x)$当且仅当$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta < \delta'$，使得$\forall x_1, x_2 \in U^\circ (x_0; \delta')$都有$| f(x_1) - f(x_2) | < \varepsilon.$

通过 Heine 定理和 Cauchy 收敛准则可以证明上述事实。

无穷限积分和瑕积分

无穷限积分：以无穷上限积分为例，$\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x$收敛的充要条件是对任意的$\varepsilon > 0$，存在$A > 0$，当$A_1, A_2 > A$时，有

$$\left| \int_{A_1}^{A_2} f(x) \mathrm{d}x \right| < \varepsilon.$$

瑕积分：以左瑕点（$x=a$是瑕点）为例，$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x$收敛的充要条件是对任意的$\varepsilon > 0$，存在$\delta > 0$，当$0 < \eta_1, \eta_2 < \delta$时，有

$$\left| \int_{a+\eta_1}^{a+\eta_2} f(x) \mathrm{d}x \right| < \varepsilon.$$

数项级数、函数项级数和函数列

对于数项级数来说，它的 Cauchy 收敛准则是：级数$\sum_{n=1}^\infty u_n$收敛的充要条件是，对任意的$\varepsilon > 0$，存在正整数$N$，使得当$n > N$时，对任意的正整数$p \in \mathbb{N}^{+}$，总有

$$\left| \sum_{k = n+1}^{n+p} u_k \right| < \varepsilon.$$

这也等价于对任意的$\varepsilon > 0$，存在正整数$N$，使得对任意两个$m > n > N$总有

$$\left| S_m - S_n \right| < \varepsilon.$$

函数项级数$\sum_{n=1}^\infty u_n (x)$在$X$上一致收敛的 Cauchy 充要条件是说：对任意的$\varepsilon > 0$，存在正整数$N(\varepsilon) \in \N^+$，当$n > N$时都有

$$\left| \sum_{k=n+1}^{n+p} u_k (x) \right| < \varepsilon \quad \forall p \in \N^+, \forall x \in X.$$

对于函数列的情形，函数列$\{ f_n (x) \}_{n=1}^\infty$在$X$上一致收敛的 Cauchy 充要条件是说：对任意的$\varepsilon > 0$，存在正整数$N(\varepsilon) \in \N^+$，当$n > N$时都有

$$\left| f_{n+p} (x) - f_n (x) \right| < \varepsilon \quad \forall p \in \N^+, \forall x \in X.$$

含参变量的反常积分

对于$\int_a^{+\infty} f(x, t) \mathrm{d}t$在$x \in I$上的逐点收敛和一致收敛性，都有相应的 Cauchy 充要条件，即

1. 逐点收敛：$\forall \varepsilon > 0, \forall x \in I, \exists A_0(\varepsilon, x) > a$，当$A_1, A_2 > A_0(\varepsilon, x)$时有$\left| \int_{A_1}^{A_2} f(x, t) \mathrm{d}t \right| < \varepsilon;$
2. 一致收敛：$\forall \varepsilon > 0, \exists A_0(\varepsilon) > a$，当$A_1, A_2 > A_0(\varepsilon)$时$\forall x \in I$有$\left| \int_{A_1}^{A_2} f(x, t) \mathrm{d}t \right| < \varepsilon.$

反常重积分

无穷限重积分

设函数$f(M)$在有连续边界的无界区域$\mathit{\Omega}$上有定义，设对于任意的具有有限边界的有界区域$\mathit{\Omega}' \in \mathit{\Omega}$，积分$\int_{\mathit{\Omega}'} f(M)\mathrm{d}\mathit{\Omega}$都是有限值，那么无穷限重积分$\int_\mathit{\Omega} f(M) \mathrm{d}\mathit{\Omega}$收敛的充要条件是：对任意$\varepsilon > 0$，存在$R > 0$，使得对于任意满足条件$\mathit{\Omega}_1 \subseteq \mathit{\Omega} - U(O, R)$的具有有限边界的有界区域$\mathit{\Omega}_1$都成立

$$\left| \int_{\mathit{\Omega}_1} f(M) \mathrm{d}\mathit{\Omega} \right| < \varepsilon.$$

无界重积分

设函数$f(M)$在有连续边界的有界区域$\mathit{\Omega} - \{ M_0 \}$上有定义，$M_0 \in \mathit{\Omega}$是该积分的瑕点，设对于任意与$M_0$有正距离的具有有限边界的有界区域$\mathit{\Omega}' \in \mathit{\Omega}$，积分$\int_{\mathit{\Omega}'} f(M)\mathrm{d}\mathit{\Omega}$都是有限值，那么无界重积分$\int_\mathit{\Omega} f(M) \mathrm{d}\mathit{\Omega}$收敛的充要条件是：对任意$\varepsilon > 0$，存在$\delta > 0$，使得对于任意满足条件$\mathit{\Omega}_1 \subseteq \mathit{\Omega} - U(M_0, \delta)$且与$M_0$有正距离的具有有限边界的有界区域$\mathit{\Omega}_1$都成立

$$\left| \int_{\mathit{\Omega}_1} f(M) \mathrm{d}\mathit{\Omega} \right| < \varepsilon.$$

复数列、复数项级数和复函数项级数

一个复数列$\{ z_n \}_{n=1}^\infty$收敛的 Cauchy 充要条件是$\forall \varepsilon > 0, \exists N(\varepsilon) \in \N^+$，当$n > N$时，对任意的正整数$p \in \mathbb{N}^{+}$，总有$|z_{n+p} - z_n| < \varepsilon.$

复数项级数$\sum_{n=1}^\infty z_n$收敛的充要条件是，对任意的$\varepsilon > 0$，存在正整数$N$，使得当$n > N$时，对任意的正整数$p \in \mathbb{N}^{+}$，总有

$$\left| \sum_{k = n+1}^{n+p} z_k \right| < \varepsilon.$$

复函数项级数$\sum_{n=1}^\infty w_n(z)$在$D$上一致收敛的 Cauchy 充要条件是说：对任意的$\varepsilon > 0$，存在正整数$N(\varepsilon) \in \N^+$，当$n > N$时都有

$$\left| \sum_{k=n+1}^{n+p} w_k (z) \right| < \varepsilon \quad \forall p \in \N^+, \forall z \in D.$$

有限维 Euclid 空间和度量空间

假设有一非空集合$X$，其上定义了一个距离$\rho$，对无穷点列$\{ A_n \}_{n=1}^\infty$收敛的概念等价于

对任意的$\varepsilon > 0$，存在正整数$N(\varepsilon) \in \N^+$，当$n > N$时，对任意的正整数$p \in \mathbb{N}^{+}$，总有$\rho(A_{n+p}, A_n) < \varepsilon.$

不难将它引入到有限维 Euclid 空间中。

应用

它可以结合阿基米德性来证明其它实数完备性等价定理。另一个用途就是它可以不依靠数列收敛的 $N - \varepsilon$ 定义直接从数列本身的特点判断数列敛散性（即无需找到数列的可能极限）。

参考资料

1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.

参考资料

1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.

参考资料

1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.