Cauchy 序列

在分析学中，Cauchy 序列是一种特殊的点列，它描述序列极限行为的重要概念。这样的序列是其元素随着序数的增大而逐渐平稳，或者说在序列充分大的序数的项之后的元素中任何元素的距离都不会超过任给的正常数。

定义

假设$X$是度量空间或伪度量空间或拟度量空间，我们称$X$中的一个序列$\{ x_n \}_{n=1}^\infty$是 Cauchy 序列是指对任意$\varepsilon > 0$存在$N \in \N$使得当$m, n > N$时成立 $$\rho(x_m, x_n) < \varepsilon.$$ 这等价于对任意$\varepsilon > 0$存在$N \in \N$使得当$n > N$时对任意$p \in \mathbb{N}^{+}$成立 $$\rho(x_{n+p}, x_n) < \varepsilon.$$

性质

在伪度量空间或拟度量空间$X$中，$x_n$是一个序列，

1. 如果$x_n$是 Cauchy 序列，那么它是有界的。
2. 如果$x_n$是收敛序列，那么它是 Cauchy 序列，反之不真，但是在完备度量空间中二者等价。
3. 如果$x_n$是 Cauchy 序列，那么$x_n$收敛当且仅当它有一个收敛子列。

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1. 我们可取$\varepsilon=1$，这样就会存在一个$N \in \N$使得对任意的$p \in \mathbb{N}^{+}$都有$\rho(x_N, x_{N+p}) < 1$，同时我们令$M = \max_{1 \leqslant n \leqslant N} \rho(x_n, 0)$，所以对任意的$n \in \N$都有$\rho(x_n, 0) < M+1.$
2. 存在$x \in X$使得对任意的$\varepsilon > 0$，存在$N \in \N$使得当$n > N$时有$\rho(x_n, x) < \varepsilon$，于是$\rho (x_{n},x_{m})\leqslant C[\rho (x_{n},x)+\rho (x_{m},x)]<2C\varepsilon .$反过来，例如取$X = (0, 1)$以及通常拓扑，那么$\{ 1/n \}$是 Cauchy 的但不是收敛的（极限$0$不在$(0, 1)$中）。
3. 只证明“仅当”部分，假设$x_n$的子列$x_{n_k}$收敛于$x \in X$，那么对任意的$\varepsilon > 0$，存在$M_1 \in \N$使得当$k > M_1$时有$$\rho (x_{n_{k}},x)<\varepsilon /(2C),$$由于$x_n$是 Cauchy 序列，存在$M_2 \in \N$使得当$m, n > M_2$时有$$\rho (x_{m},x_{n})<\varepsilon /(2C),$$于是取$N = \max\{M_1, M_2\}$，$N_0 > N$，这样当$n>N_0$时$$\rho (x_{n},x)\leqslant C[\rho (x_{n},x_{N_{0}})+\rho (x_{N_{0}},x)]<\varepsilon .$$

完备空间的稠密子集

如果度量空间$X$的一个稠密子集$Y$满足：$Y$中的每个 Cauchy 序列在$X$中都收敛，那么$X$是完备的。

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我们只需要证明$Y$的闭包中的 Cauchy 序列$x_n$都是收敛的。

对每个$n \in \N$都存在$y_n \in Y$使得 $$\rho(x_n, y_n) < 1/n.$$ 我们只要说明$y_n$是 Cauchy 序列进而是收敛到$x \in X$的，于是由三角不等式 $$\rho(x_n, x) \leqslant \rho(x_n, y_n) + \rho(y_n, x)$$ 就可以得到$x_n$收敛。

实际上 $$\begin{align} \rho(y_m, y_n) & \leqslant \rho(y_m, x_m) + \rho(x_m, x_n) + \rho(x_n, y_n) \\ & \leqslant 1/m + 1/n + \rho(x_m, x_n). \end{align}$$ 由于$x_n$是 Cauchy 的，故$y_n$也是 Cauchy 的。