Cauchy 型积分

复变函数中，Cauchy 型积分是由 Cauchy 积分公式引出的一个概念。

概念

设$C$为简单逐段光滑曲线，$f(z)$是$C$上有定义的可积函数，那么我们称 $$\dfrac{1}{2\pi\text{i}} \int_C \dfrac{f(\zeta)}{\zeta - z} \mathrm{d}\zeta, \quad z \notin C$$ 是 Cauchy 型积分。

如果$C$是闭合的，且$f(z)$在$C$的内部解析，边界连续，就得到 Cauchy 积分。

性质

设$f(z)$沿简单逐段光滑曲线$C$连续，则函数 $$F(z) = \dfrac{1}{2\pi\text{i}} \int_C \dfrac{f(\zeta)}{\zeta - z} \mathrm{d}\zeta, \quad z \notin C$$ 在$\C - C$上的任意区域上解析，且 $$F^{(n)} (z) = \dfrac{n!}{2\pi\text{i}} \int_C \dfrac{f(\zeta)}{(\zeta - z)^{n+1}} \mathrm{d}\zeta, \quad z \notin C, n \in \N^+.$$

参见

• Cauchy 积分定理
• Cauchy 积分公式
• 解析函数

参考资料

1. 钟玉泉, 《复变函数论（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-03, ISBN 978-7-0405-5587-5.