Cauchy 分布

在概率论中，Cauchy 分布是一种连续型概率分布。

模型

设连续型随机变量$X$的概率密度函数为 $$f (x) = \dfrac{1}{\pi} \cdot \dfrac{\lambda}{\lambda^2 + (x-\mu)^2}, \quad \lambda > 0.$$ 其中$\lambda, \mu$为常数，我们就说$X$服从 Cauchy 分布。

模型的导出

设$\lambda > 0$，随机变量$X$服从均匀分布，即$X \sim U[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}]$，设$Y = \lambda \tan X + \mu$，则 $$F_Y (y) = P \{ \lambda \tan X + \mu < y \} = P \left\{ X < \arctan \dfrac{y-\mu}{\lambda} \right\} = \dfrac{1}{\pi} \cdot \left( \arctan \dfrac{y-\mu}{\lambda} + \dfrac{\pi}{2} \right).$$ 对上式求导，有 $$f_Y (y) = F'_Y (y) = \dfrac{1}{\pi} \cdot \dfrac{\lambda}{\lambda^2 + (y-\mu)^2}.$$ 因此，随机变量$Y$服从 Cauchy 分布。

数学期望

Cauchy 分布的数学期望不存在，这是因为积分 $$\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{|x|}{\pi} \dfrac{\lambda}{\lambda^2+(x-\mu)^2}\mathrm{d}x$$ 不收敛。

上下节

• 上一节：对数正态分布
• 下一节：随机变量

参考资料

1. 李贤平, 《概率论基础（第3版）》, 高等教育出版社, 北京, 2010-04, ISBN 978-7-0402-8890-2.