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广义积分的 Cauchy 主值(Cauchy principal value)反映函数趋向正负无穷两极的敛散速度快慢程度。

无穷限积分[]

柯西主值存在,积分不一定收敛,但是无穷上下限积分收敛一定存在柯西主值(为什么?);对于保号函数的无穷上下限积分,积分收敛当且仅当柯西主值存在,且积分收敛的值就是柯西主值。

瑕积分[]

像无穷限积分那样,我们也可对瑕积分引入 Cauchy 主值的定义:设函数是函数上的唯一瑕点,如果

的极限存在,就称这两个极限的和为的柯西主值。

参考资料

  1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.
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