Cauchy 中值定理

Cauchy 中值定理（常译柯西中值定理）是微分学中值定理的等价定理之一，可以认为是 Lagrange 中值定理更一般的情形。

内容

如果函数 $f(x), g(x)$ 连续于 $[a, b]$，可导于 $(a,b)$ 且 $g(a) \ne g(b)$，$f'(x)$ 与 $g'(x)$ 不同时为零，则存在 $\xi \in (a, b)$，使得

$$\dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \dfrac{f(b) - f(a)} {g(b) - g(a)}.$$

特别地，当 $g(x) = x$ 时就是 Lagrange 中值定理。

定理的几何意义可以理解为：在平面坐标系中，一个由参数方程表示的连续光滑曲线，任意两点之间必有一点的切线方向和给定两点连线方向相同。

证明

证明可以由 Rolle 定理完成。

原函数法

令

$$F(x) = f(x) - f(a) - \dfrac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} \big( g(x) - g(a) \big), \quad x \in [a, b].$$

则 $F(x)$ 连续于 $[a, b]$，可导于 $(a,b)$，且 $F(a) = F(b) = 0.$
由 Rolle 定理，存在 $\xi \in (a, b)$，使得

$$F'(\xi) = \dfrac{F(b) - F(a)} {b - a} = 0.$$

于是

$$F'(\xi) = f'(\xi) - \dfrac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} g'(\xi) = 0.$$

进而存在 $\xi \in (a, b)$，使得

$$\dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \dfrac{f(b) - f(a)} {g(b) - g(a)}.$$

比例常数法

令 $k = \dfrac{f(b) - f(a)} {g(b) - g(a)}$，构造辅助函数 $F(x) = f(x) - k g(x),~ x \in [a, b].$ 则 $F(x)$ 连续于 $[a, b]$，可导于 $(a,b)$，且

$$F(a) = f(a) - k g(a) = f(b) - k g(b) = F(b).$$

下面的过程与第一种解法相同。

应用

Cauchy 中值定理比 Lagrange 中值定理更一般化，它也可用于证明一些微分学结论。

1.设函数 $f(x)$ 三阶可导于 $[a, b]$，证明：$\exists \xi \in (a, b)$，使得

$$f(b) = f(a) + \dfrac{1}{2} (b - a) [f'(b) + f'(a)] - \dfrac{1}{12} (b - a)^3 f'''(\xi).$$

提示：可以使用 Cauchy 中值定理：令 $\begin{array}{lcl} g(x) &=& f(x) - f(a) - \dfrac{1}{2} (x - a) [f'(x) + f'(a)] &,& h(x) &=& - \dfrac{1}{12} (x - a)^3 \\ g'(x) &=& \dfrac{1}{2} (f'(x) - f'(a)) - \dfrac{1}{2} (x-a) f''(x) &,& h'(x) &=& - \dfrac{1}{ 4} (x - a)^2 \\ g''(x) &=& - \dfrac{1}{2} (x-a) f'''(x) &,& h''(x) &=& - \dfrac{1}{ 2} (x - a) \end{array}$
并有 $g(a) = h(a) = g'(a) = h'(a) = 0$，由 Cauchy 中值定理 $\begin{align} \dfrac{f(b) - f(a) + \dfrac{1}{2} (b - a) [f'(b) + f'(a)]}{- \dfrac{1}{12} (b - a)^3} & = \dfrac{g(b) - g(a)}{h(b) - h(a)} \\ & \overset{\underset{\eta \in (a, b)}{}}{=\!=\!=} \dfrac{g'(\eta)}{h'(\eta)} = \dfrac{g'(\eta) - g'(a)}{h'(\eta) - h'(a)} \\ & \overset{\underset{\xi \in (a, \eta)}{}}{=\!=\!=} \dfrac{g''(\xi)}{h''(\xi)} = f'''(\xi). \end{align}$
也可以使用 Rolle 定理证明（比例常数法）。

2.用 Cauchy 中值定理证明：若在 $[a, b]$ 上$| f'(x) | \geqslant | g'(x) |, f'(x) \ne 0$，则 $| \Delta f(x) | \geqslant | \Delta g(x) |$，并由此证明在 $\left[ \dfrac{1}{2}, x \right]$ 上有 $\Delta \! \arctan x \leqslant \Delta \! \ln (1 + x^2).$

答案：（单击右侧展开以显示>>>）

因在 $[a, b]$ 上 $\left|f^{\prime}(x)\right| \geqslant \left| \varphi^{\prime} (x) \right|, f^{\prime} (x) \neq 0,$ 故 $f(x), \varphi(x)$ 在 $[a, b]$ 上可导，从而在 $[a, b]$ 上连续.
任取 $x, x + \Delta x \in [a, b], \Delta x > 0$，则 $f(x), \varphi(x)$ 在 $[x, x + \Delta x ]$ 上连续可导且 $f^{\prime}(x) \neq 0.$
由Cauchy 中值定理，则必存在 $\xi \in(x, x + \Delta x)$ 使 $\frac{\varphi( x + \Delta x) - \varphi(x) }{f( x + \Delta x ) - f(x)} = \frac{\varphi^{\prime}(\xi)}{f^{\prime}(\xi)}$ 即 $\frac{\Delta \varphi(x)}{\Delta f(x)} = \frac{\varphi^{\prime}(\xi)}{f^{\prime}(\xi)}$，于是 $\left| \frac{\Delta \varphi(x)}{\Delta f(x)} \right| = \left| \frac{\varphi^{\prime}(\xi)}{f^{\prime}(\xi)} \right| \leqslant 1$ 即 $| \Delta f(x) | \geqslant | \Delta \varphi(x) |.$
因 $(\arctan x)^{\prime} = \frac{1}{1+x^{2}}, \left( \ln \left(1 + x^{2} \right) \right)^{\prime} = \frac{2 x}{1 + x^2}$，且在 $\left[ \frac{1}{2}, x \right]$ 上有 $2x > 1$，则 $\left(\ln \left(1 + x^{2} \right) \right)^{\prime} = \frac{2x}{1 + x^2} > \frac{1}{1 + x^2} = (\arctan x)^{\prime} > 0$，取 $f(x) = \ln \left(1 + x^2\right), \varphi(x) = \arctan x$，则由上面的结论知，在 $\left[ \frac{1}{2}, x \right]$ 上, $\Delta \arctan x = | \Delta \arctan x | \leqslant \left| \Delta \ln \left(1 + x^2 \right) \right| = \Delta \ln \left(1 + x^2 \right).$

3.设 $0 < \delta < a$，$f(x)$ 在 $(0, a]$ 上连续，在 $(0, \delta)$ 上可导，且存在 $0 < r < 1$ 以及 $C > 0$ 使得 $\forall x \in (0, \delta), |f'(x)| \leqslant Cx^{r-1}$，证明：$f(x)$ 在 $(0, a]$ 上一致连续。

提示：使用 Cauchy 中值定理证明在 $x = 0$ 处极限存在，则在这一点补充定义后函数在闭区间上连续，进而一致连续，所以在原区间上一致连续。

参考资料

1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.