Cauchy-Schwarz 不等式

Cauchy-Schwarz 不等式是数学中十分重要的一个不等式，一般这个不等式代表内积空间中的不等式。

内积形式

在 Euclid 空间$V$上定义了一个内积$(,)$，成立如下不等式

$$\forall \alpha, \beta \in V, \quad |(\alpha, \beta)| \leqslant |\alpha |~|\beta|.$$

等式成立当且仅当$\alpha, \beta$线性相关。

在一般的内积空间（特别地，Hilbert 空间）$V$上定义了一个内积$(,)$，成立如下不等式

$$\forall \alpha, \beta \in V, \quad |(\alpha, \beta)| \leqslant \|\alpha \|~\|\beta\|.$$

这里$\| \cdot \|$是由上述内积诱导的范数。等式成立当且仅当$\alpha, \beta$线性相关。

代数形式

设有两列实数$\{a_k\}_{k=1}^n, \{b_k\}_{k=1}^n$，那么有下式成立

$$\left( \sum_{k=1}^n a_k b_k \right)^2 \leqslant \left(\sum_{k=1}^n a_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^n b_k^2\right).$$

不难继续推广： 设有$m$列实数$\{a_{ij}\}_{j=1}^n, i = 1,2,\cdots, m$，那么有下式成立

$$\left( \sum_{j=1}^n \prod_{i=1}^m a_{ij} \right)^2 \leqslant \prod_{i=1}^m \sum_{j=1}^n a_{ij}^2.$$

它们都是内积形式的坐标表示法。

定积分形式

定积分可以认为是函数空间上的一种内积，设$f(x), g(x)$在$[a, b]$上可积或广义可积，于是

$$\left( \int_a^b f(x) g(x) \mathrm{d}x \right)^2 \leqslant \int_a^b f^2(x) \mathrm{d}x \cdot \int_a^b g^2(x) \mathrm{d}x.$$

等式成立当且仅当存在不全为零的$k, l \in \R$使得$k f(x) +l g(x) = 0, \forall x \in [a, b]$

这个不等式有一个稍微精确的版本：假设$0 < m \leqslant f(x) \leqslant M, \int_a^b g(x) = 0$，那么成立

$$\left( \int_a^b f(x) g(x) \mathrm{d}x \right)^2 \leqslant \left( \dfrac{M-m}{M+m} \right)^2 \int_a^b f^2(x) \mathrm{d}x \cdot \int_a^b g^2(x) \mathrm{d}x.$$

自然可以将其推广到$\R^n$上的 Lebesgue 积分，成为$L^2$空间上的内积不等式。

概率论形式

设$X, Y$是随机变量，则有如下不等式成立

$$|E(XY)|^2 \leqslant E(X^2) E(Y^2).$$

等式成立当且仅当存在某一常数$c$，使得

$$P\{Y = cX\} = 1.$$

协方差和方差也有这样的不等式，且它们的比值称为相关系数。

$$|\text{cov}(X, Y)| \leqslant \sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}.$$

反向不等式

以下的不等式也称为 Kantorovich 不等式，它是说，在$[0,1]$上可积的函数$f(x)$，若存在$0 < m \leqslant f(x) \leqslant M$，则有

$$\left( \int_0^1 f(x) \mathrm{d}x \right) \left( \int_0^1 \dfrac{1}{f(x)} \mathrm{d}x \right) \leqslant \dfrac{(M+m)^2}{4Mm}.$$

带微小量的形式

在数值估计和偏微分方程中常用到的带$\varepsilon$的 Cauchy 不等式，它是，

$$ab \leqslant \varepsilon a^2 + \dfrac{b^2}{4\varepsilon}, \quad a, b, \varepsilon > 0.$$

仅需注意到

$$ab = ((2\varepsilon)^\frac{1}{2} a ) \left( \frac{b}{(2\varepsilon)^\frac{1}{2}} \right).$$

即可。

相关公式

• Hölder 不等式
• Minkowski 不等式