Cauchy-Hadamard 定理

在级数理论中，Cauchy-Hadamard 定理（柯西-阿达马定理）是求解一个幂级数收敛半径的有力工具，尤其是对于缺项幂级数来说（因为它使用的判断手段是泰勒系数的上极限）。

内容

对于一个幂级数（可以是复幂级数）$\sum_{n=0}^\infty c_n z^n$，设 $$R = \begin{cases} \dfrac{1}{\displaystyle{\limsup_{n \to \infty}} \sqrt[n]{|c_n|}}, & 0 < \displaystyle{\limsup_{n \to \infty}} \sqrt[n]{|c_n|} < \infty, \\ 0, & \displaystyle{\limsup_{n \to \infty}} \sqrt[n]{|c_n|} = \infty, \\ \infty, & \displaystyle{\limsup_{n \to \infty}} \sqrt[n]{|c_n|} = 0. \end{cases}$$

那么，幂级数$\sum_{n=0}^\infty c_n z^n$在$|z| < R$的区域内闭一致收敛且绝对收敛，在$|z| > R$的区间内发散，在$|z| = R$的周线上敛散性需进一步判断。

参考资料

1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.