Cartesian 積

在集合論中，笛卡爾積（Cartesian product）或稱直積（direct product）是用兩個集合構造更大的集合的一種方法，給集合帶上不同的代數結構，利用集合的笛卡爾積，可以定義不同代數系統的直積，這是構造新代數的三大方法之一（另外兩個方法是子代數和同態象）。

序偶

成對出現且有順序的數學對象稱為序偶，也稱有序數對，二元有序數對可以定義為$(x, y) := \{ \{ x \}, \{ x, y \} \}$，它和集合$\{ x, y \}$的區別在於有順序性，我們說兩個二元有序數對$(a, b), (c, d)$相等是指$a = c, b = d.$

同樣可以定義三元有序數對$(x, y, z) := ((x, y), z)$，以及遞歸定義$n$元有序數對$(a_1, a_2, \cdots, a_n) = ((a_1, a_2, \cdots, a_{n-1}), a_n).$

可以證明兩個$n$元有序數對 $$(a_1, \cdots, a_n) = (b_1, \cdots, b_n) \iff a_i = b_i, i = 1,2,\cdots,n.$$ 以上定義中的對象$a_i$可以來自於不同的集合。

笛卡爾積

假設有集合$A, B$，如果二元有序數對$(x,y)$的第一個成員$x \in A$，第二個成員$y \in B$，那麼所有這樣的二元有序數對全體組成的集合稱為$A, B$的笛卡爾積，即 $$A \times B := \{ (x, y): x \in A, y \in B \}.$$ 同樣可以定義$n$個集合的笛卡爾積。約定當$A = \varnothing$或$B = \varnothing$時$A \times B = \varnothing.$

根據以上定義，可以得到 $$\begin{align} (A \times B) \times C & = \{ ((a, b), c): (a, b) \in A \times B, c \in C \}, \\ & = (a, b, c): a \in A, b \in B, c \in C \}. \end{align}$$ 但是 $$A \times (B \times C) = \{ (a, (b, c)): a \in A, (b, c) \in B \times C \}.$$ 我們沒有給後者定義三元組，所以$(A \times B) \times C \ne A \times (B \times C).$ 因此我們約定 $$A \times B \times C := (A \times B) \times C.$$ 對任意$n$個集合的笛卡爾積也是這樣約定的。

性質

1. $A \times B = B \times A, \iff A = B.$
2. $A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C).$
3. $A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C).$
4. $(A \times B) \cup C = (A \times C) \cup (B \times C).$
5. $(A \times B) \cap C = (A \times C) \cap (B \times C).$
6. 如果$C \ne \varnothing$，那麼$A \subset B \iff A \times C \subset B \times C \iff C \times A \subset C \times B.$
7. 如果$A, B, C, D \ne \varnothing$，那麼$A \times B \subset C \times D \iff A \subset C \And B \subset D.$
8. $A \times A = B \times B \iff A = B.$
9. 如果$C \ne \varnothing$，那麼$A \times C = B \times C \iff A = B.$