Cartesian 积

在集合论中，笛卡尔积（Cartesian product）或称直积（direct product）是用两个集合构造更大的集合的一种方法，给集合带上不同的代数结构，利用集合的笛卡尔积，可以定义不同代数系统的直积，这是构造新代数的三大方法之一（另外两个方法是子代数和同态象）。

序偶

成对出现且有顺序的数学对象称为序偶，也称有序数对，二元有序数对可以定义为$(x, y) := \{ \{ x \}, \{ x, y \} \}$，它和集合$\{ x, y \}$的区别在于有顺序性，我们说两个二元有序数对$(a, b), (c, d)$相等是指$a = c, b = d.$

同样可以定义三元有序数对$(x, y, z) := ((x, y), z)$，以及递归定义$n$元有序数对$(a_1, a_2, \cdots, a_n) = ((a_1, a_2, \cdots, a_{n-1}), a_n).$

可以证明两个$n$元有序数对 $$(a_1, \cdots, a_n) = (b_1, \cdots, b_n) \iff a_i = b_i, i = 1,2,\cdots,n.$$ 以上定义中的对象$a_i$可以来自于不同的集合。

笛卡尔积

假设有集合$A, B$，如果二元有序数对$(x,y)$的第一个成员$x \in A$，第二个成员$y \in B$，那么所有这样的二元有序数对全体组成的集合称为$A, B$的笛卡尔积，即 $$A \times B := \{ (x, y): x \in A, y \in B \}.$$ 同样可以定义$n$个集合的笛卡尔积。约定当$A = \varnothing$或$B = \varnothing$时$A \times B = \varnothing.$

根据以上定义，可以得到 $$\begin{align} (A \times B) \times C & = \{ ((a, b), c): (a, b) \in A \times B, c \in C \}, \\ & = (a, b, c): a \in A, b \in B, c \in C \}. \end{align}$$ 但是 $$A \times (B \times C) = \{ (a, (b, c)): a \in A, (b, c) \in B \times C \}.$$ 我们没有给后者定义三元组，所以$(A \times B) \times C \ne A \times (B \times C).$ 因此我们约定 $$A \times B \times C := (A \times B) \times C.$$ 对任意$n$个集合的笛卡尔积也是这样约定的。

性质

1. $A \times B = B \times A, \iff A = B.$
2. $A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C).$
3. $A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C).$
4. $(A \times B) \cup C = (A \times C) \cup (B \times C).$
5. $(A \times B) \cap C = (A \times C) \cap (B \times C).$
6. 如果$C \ne \varnothing$，那么$A \subset B \iff A \times C \subset B \times C \iff C \times A \subset C \times B.$
7. 如果$A, B, C, D \ne \varnothing$，那么$A \times B \subset C \times D \iff A \subset C \And B \subset D.$
8. $A \times A = B \times B \iff A = B.$
9. 如果$C \ne \varnothing$，那么$A \times C = B \times C \iff A = B.$