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在集合论中,笛卡尔积(Cartesian product)或称直积(direct product)是用两个集合构造更大的集合的一种方法,给集合带上不同的代数结构,利用集合的笛卡尔积,可以定义不同代数系统的直积,这是构造新代数的三大方法之一(另外两个方法是子代数同态象)。

序偶[]

成对出现且有顺序的数学对象称为序偶,也称有序数对,二元有序数对可以定义为,它和集合的区别在于有顺序性,我们说两个二元有序数对相等是指

同样可以定义三元有序数对,以及递归定义元有序数对

可以证明两个元有序数对

以上定义中的对象可以来自于不同的集合。

笛卡尔积[]

假设有集合,如果二元有序数对的第一个成员,第二个成员,那么所有这样的二元有序数对全体组成的集合称为的笛卡尔积,即

同样可以定义个集合的笛卡尔积。约定当

根据以上定义,可以得到

但是
我们没有给后者定义三元组,所以 因此我们约定
对任意个集合的笛卡尔积也是这样约定的。

性质[]

  1. 如果,那么
  2. 如果,那么
  3. 如果,那么
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