在集合论中,笛卡尔积(Cartesian product)或称直积(direct product)是用两个集合构造更大的集合的一种方法,给集合带上不同的代数结构,利用集合的笛卡尔积,可以定义不同代数系统的直积,这是构造新代数的三大方法之一(另外两个方法是子代数和同态象)。
序偶[]
成对出现且有顺序的数学对象称为序偶,也称有序数对,二元有序数对可以定义为
,它和集合
的区别在于有顺序性,我们说两个二元有序数对
相等是指
同样可以定义三元有序数对
,以及递归定义
元有序数对
可以证明两个
元有序数对

以上定义中的对象

可以来自于不同的集合。
笛卡尔积[]
假设有集合
,如果二元有序数对
的第一个成员
,第二个成员
,那么所有这样的二元有序数对全体组成的集合称为
的笛卡尔积,即

同样可以定义

个集合的笛卡尔积。约定当

或

时
根据以上定义,可以得到

但是

我们没有给后者定义三元组,所以

因此我们约定

对任意

个集合的笛卡尔积也是这样约定的。
性质[]





- 如果
,那么
- 如果
,那么

- 如果
,那么