Caratheodory 定理

Caratheodory 定理是测度论中的一个定理。我们知道在一般的测度空间中零测集的子集未必可测，这也造成了我们在使用一般的测度空间时很多情况下出现难以克服的困难，因为零测集的子集在一些分析中经常会被用到，例如放缩不等式时，一个绝对值小于等于零我们要得到这个绝对值就是零，然是我们要注意这个绝对值必须是有意义的，因此必须考察零测集的子集，这就导致了 Caratheodory 定理以及测度空间完全化的出现，任意一个测度空间都是可以完全化的，只需要收集那些零测集的子集让它们在一定条件下生成一个新的 σ代数即可（参见测度扩张和完全测度空间）。

完全测度空间

假设有集合系$\mathcal{E} \in 2^X$及其上的测度$\mu$，$X$的某个子集生成的 σ-代数为$\mathcal{F}$，我们称$(X, \mathcal{F}, \mu)$是测度空间。

进而定义完全测度空间：

假设有测度空间$(X, \mathcal{E}, \mu)$满足：$\mu$的任意零测集的子集依然是$\mathcal{E}$中的元素，我们就称$(X, \mathcal{E}, \mu)$是完全的。

Caratheodory 定理

假设$\tau$是$X$上的一个外测度，我们称满足如下条件 $$\tau(D) = \tau(D \cap A) + \tau(D \cap \overline{A}), \quad \forall D \in \mathcal{E}$$ 的$X$的子集$A$称为$\tau$可测集，$D$称为测试集。全体$\tau$可测集组成的集合系记作$\mathcal{E}_\tau$，Caratheodory 定理指出：

假设$\tau$是$X$上的外测度，那么$\mathcal{E}_\tau$是 σ-代数，且$(X, \mathcal{E}_\tau, \tau)$是完全测度空间。

参考资料

1. Lawrence C. Evans, Ronald F. Gariepy, Measure Theory and Fine Properties of Functions(4th Ed.), Studies in Advanced Mathematics Vol.5, CRC Press, 1991, ISBN 978-0-8493-7157-8.
2. 程士宏, 《测度论与概率论基础》, 北京大学出版社, 北京, 2006-06, ISBN 978-7-3010-6345-3.