Cantor 三分集

Cantor 三分集是一个性质奇特的点集，在分形理论中作为典型的几何分形出现。

概念

该集合是通过下述方法构造的：

1. 将区间$[0,1]$三等分，去掉中间的开区间$\left( \dfrac{1}{3}, \dfrac{2}{3} \right)$，得到两个闭区间的并集
   $$F_1 = \left[0, \dfrac{1}{3}\right] \cup \left[ \dfrac{2}{3}, 1 \right] = F_{1,1} \cup F_{1,2}.$$
2. 分别将区间$F_{1,1}, F_{1,2}$再三等分，去掉中间的开区间$\left( \dfrac{1}{9}, \dfrac{2}{9} \right), \left( \dfrac{7}{9}, \dfrac{8}{9} \right)$，得到四个闭区间的并集
   $$F_2 = \left[0, \dfrac{1}{9}\right] \cup \left[ \dfrac{2}{9}, \dfrac{1}{3}\right] \cup \left[ \dfrac{2}{3}, \dfrac{7}{9} \right] \cup \left[ \dfrac{8}{9}, 1 \right] = F_{2,1} \cup F_{2,2} \cup F_{2,3} \cup F_{2,4}.$$
3. 这样一直进行下去，到第$n$次分割后得到$2^n$个闭区间的并集
   $$F_n = \bigcup_{j=1}^{2^n} F_{n,2^j}.$$
   取极限就得到 Cantor 三分集

$$F = \lim_{n \to \infty} F_n.$$

性质

上述构造的集合具有以下性质：

1. 是有界闭集，因此是紧集。
2. 是完全集，也就是说其中的任何一点都是极限点，反之亦然。
3. 该集合没有内点，但是基数却和实数等势。
4. 是零测集，因此是可测集。

参见

• Cantor 函数
• 完全集
• Harnack 集