Botsko 定理

实数理论中的 Botsko 定理亦称完全覆盖定理，是1987年由 Michael W. Botsko 提出并证明的，这个定理可以从完全覆盖的角度对实数系的一组等价定理给出独到的证明。

完全覆盖的概念

区间 $[a, b]$ 的闭子区间族 $C$ 称为 $[a, b]$ 的一个完全覆盖，如果对任意的 $x \in [a, b]$ 存在正数 $\delta_x > 0$，使 $[a, b]$ 的每一包含 $x$ 且长度小于 $\delta_{x}$ 的闭子区间都属于 $C$。

即 若 $\forall x \in [a, b], \exists \delta_{x} >0$, 记
$A_x = \{ [ \alpha, \beta ]~|~[ ( \alpha, \beta ) ] \subset [a, b] , x \in [ \alpha, \beta ] , \beta - \alpha < \delta_{x} \},$
则　$C = \{[ \alpha, \beta]~|~[ ( \alpha, \beta ) ] \in A_x | x \in [a, b] \}$ 是 $[a, b]$ 的一个完全覆盖。

完全覆盖定理

闭区间 $[a, b]$ 的任意完全覆盖 $C$ 包含 $[a, b]$ 的一个分割, 即 $a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b$，使 $[x_{i-1}, x_i] \in C, i \in \{ i \}_{i = 1}^{n}$。

证明实数系基本定理

Heine-Borel 定理

我们来证明实数系上的有限覆盖定理：若开区间集 $S$ 覆盖闭区间 $[a, b]$, 则 $S$ 中有有限个开区间覆盖闭区间 $[a, b]$。

证 令 $C = \{ I | I$ 为 $[a, b]$ 的闭子区间, 且 $S$ 中存在某个开区间 $M$ , 使得 $I \subset M \}.$
已知开区间集 $S$ 覆盖闭区间 $[a, b] ,$ 故 $x \in [a, b] ,$ 则 $\exists M_x \in S , s.t. x \in M_x ,$
不妨设 $M_x = ( x_1 , x_2 ) ,$ 令 $\delta_x = \min \{x - x_1 , x_2 - x \},$
显然 $\delta_x >0, [a, b]$ 的每一包含 $x$ 且长度小于 $\delta_{x}$ 的闭子区间都包含于 $M_x ,$
可见 $C = \{ I | I$ 为 $[a, b]$ 的闭子区间, 且 $\exists M_x \in S, s.t. I \subset M \}$ 是 $[a, b]$ 的一个完全覆盖,
由完全覆盖定理, $\exists a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots <x_n = b, s.t. [ x_{i-1}, x_i] \in C, i \in \{ i \}_{i = 1}^{n},$
设 $[x_{i-1} , x_i] M_i \in S, i \in \{ i \}_{i = 1}^{n},$ 则 $M_i \in \{ M_i \}_{i = 1}^{n}$ 覆盖了 $[a, b]$。
这就证明了结论成立。

Bolzano-Weierstrass 定理

即证明：有界无限点集必有聚点。

证 用反证法，假设有界无限点集 $\mathbf{E}$ 没有聚点, 不妨设 $a$ 和 $b$ 分别是 $\mathbf{E}$ 上界和下界.
则 $[a, b]$ 中的任意一点都不是 $\mathbf{E}$ 的聚点.即
$x \in [a, b] , \exists \delta_x > 0, s.t. (x - \delta_x, x + \delta_x )$ 中最多含有 $\mathbf{E}$ 的有限项.
令 $C = \{ I | I$ 为 $[a, b]$ 的闭子区间, 且 $I$ 中最多含有 $\mathbf{E}$ 的有限项 $\},$
显然 $C$ 是 $[a, b]$ 的一个完全覆盖, 由完全覆盖定理,
存在 $a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b,$ 使得每一个 $[ x_{i-1}, x_i] \in C, i\in \{i\}_{i = 1}^{n}, [a, b]$ 中最多含有 $\mathbf{E}$ 的有限项,
这与 $\mathbf{E}$ 是无限点集相矛盾.所以有界无限点集必有聚点.

区间套定理

证 只证 $\xi$ 的存在性，用反证法，若不存在 $\xi$ , 满足 $\xi \in [a_n, b_n] ,$ 令
$C = \{ I | I$ 为 $[a_1, b_1]$ 的闭子区间, 且 $I$ 仅与有限多个 $[a_n, b_n]$ 相交 $\}.$
$x \in [a_1, b_1] , x$ 至多属于有限个 $[a_n , b_n] ,$ 记 $N = \max{ \{ n : x \in [a_n , b_n] \} },$
则 $x \in [ a_{N+1}, b_{N+1} ] ,$ 取 $\delta_x = \min{ \{ | x - a_{N + 1} | , | x - b_{N + 1} | \} } > 0,$ 于是
$(x - \delta_x , x + \delta_x )$ 至多与 $\{ [ a_n, b_n] \}$ 中前 $N$ 个闭区间相交,
对于 $[a_1, b_1]$ 中包含 $x$ 且长度小于 $\delta_{x}$ 的闭子区间 $I \cap ( x - \delta_x , x + \delta_x ) ,$ 从而 $I \in S ,$
因此 $C$ 是 $[a_1, b_1]$ 的一个完全覆盖, 于是 $\exists [a_1, b_1]$ 的一个分割 $a_1 = x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b, s.t. [ x_{i-1}, x_1] \in C,$
$i \in \{ i \}_{i = 1}^{n} ,$ 由此推出 $[a_1, b_1]$ 与 $\{ [ a_n, b_n] \}$ 中有限多个闭区间相交, 矛盾.

Dedekind 定理

即证明：设 $\R$ 是实数集，对 $\R$ 的任何分割，或者左集 $S$ 有最大数，或者右集 $T$ 有最小数，二者必居其一。

证 用反证法, 设 $S$ 中无最大数且 $T$ 中无最小数, 取 $s \in S , t \in T$
令 $C = \{ I | I$为 $[s, t]$的闭子区间, 且 $I \cap S = \varnothing$ 或 $I \cap T = \varnothing \}$ 下证 $C$ 是 $[s, t]$ 的一个完全覆盖
事实上, $\forall x \in [s, t],$ 若 $x \in [s, t],$
$\quad$ 若 $x \in S,$ 有 $x'> x ,$ 取 $\delta_x = x'- x > 0;$
$\quad$ 若 $x \in T,$ 有 $x' \in T, x' < x,$ 取 $\delta_x = x - x' > 0,$
于是以上两种情况都有 $(x - \delta_x, x + \delta_x ) \cap S = \varnothing$ 或 $(x - \delta_x , x + \delta_x ) \cap T = \varnothing,$
对于 $[s, t]$ 的任意包含 x 且长度小于 \delta_x 的闭子区间 $I , I \subset ( x - \delta_x , x + \delta_x ) ,$
从而 $I \cap S = \varnothing$ 或 $I \cap T = \varnothing,$ 即 $I \in C.$
因此 $C$ 为 $[s, t]$ 的一个完全覆盖, 据完全覆盖定理, $\exists [s, t]$ 的一个分割
$s < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = t, s.t. [x_{i - 1}, x_i ] \in C, i \in \{ i \}_{i = 1}^{n}$
但 $\exists [ x_{i-1}, x_i], s.t. [x_{i - 1}, x_i] \cap S \ne Q,$ 且 $[x_{i - 1}, x_i ] \cap T \ne \varnothing$
推出矛盾，原命题成立。

确界定理

我们证明：非空有上界的数集必有上确界。下确界的情况类似。

证 设 $S$ 是一个非空有上界 $b$ 的数集, 假设 $\sup{S}$ 不存在, 取 $a \in S,$ 则 $a$ 不是 $S$ 上界, 从而 $a < b,$ 令
$C = \{ I | I$ 为 $[a, b]$ 的闭子区间, $I$ 的左右端点或同时为 $S$ 的上界, 或同时不为 $S$ 的上界 $\}$
$\forall x \in [a,b ],$ 只有两种可能: 或者 $x$ 不是 $S$ 的上界; 或者 $x$ 虽是 $S$ 的上界, 但不是 $S$ 的最小上界。
如果 $x$ 不是 $S$ 的上界, $\exists \delta_x > 0, s.t. x + \delta_x \in S,$ 则 $\forall I \in \{ I$ 为闭子区间 $| x \in I \subset [a, b] \},$
当 $|I| < \delta_x$ 时, $I$ 的右端点不是 $S$ 的上界, 于是 $I \in C;$
如果 $x$ 虽是 $S$ 的上界, 但不是 $S$ 的最小上界. $\exists \delta_x > 0, s.t. x - \delta_x$ 是 $S$ 的上界,
则 $\forall I \in \{ I$ 为闭子区间 $| x \in I \subset [a, b] \},$
当 $|I| < \delta_x$ 时, $I$ 的左端点是 $S$ 的上界, 于是 $I \in C.$
则 $C$ 构成 $[a, b]$ 的一个完全覆盖。由完全覆盖定理, $C$ 包含了 $[a, b]$ 的一个分割:
$\exists a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots <x_n = b, s.t. [ x_{i-1}, x_i] \in C, i \in \{ i \}_{i = 1}^{n},$
因为 $a$ 不是 $S$ 的上界, 由 $C$ 中元素的构造知 $x_1$ 不是 $S$ 的上界,
从而推出 $x_2$ 不是 $S$ 的上界。以此类推, 最后得到 $x_n = b$ 亦不是 $S$ 上界,
与假设矛盾, 定理得证.

证明连续函数的性质

Cantor 连续性定理

即闭区间 $[a, b]$ 上的连续函数 $f(x)$ 必一致连续。

函数与导数的关系

若函数 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内可导, 且 $f'(x)>0$ , 则 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内严格递增。