Borel 集

在测度论中，Borel 集（博雷尔点集）是有限维 Euclid 空间$\R^n$中的一个重要集类，而 Borel 测度是在所有 Borel 集上可测的测度。

概念

由$\R^n$中的所有开集构成的集族所生成的 σ-代数称为 Borel σ-代数，记作$\mathcal{B}, \mathcal{B}_{\R^n}$，其中的对象称为 Borel 集。

$\R^n$及其中的空集、闭集、开集以及可列个闭集之并（常记作$F_\sigma$集）、可列个开集之交（常记作$G_\delta$集）都是 Borel 集。

我们称可测空间$(\R^n, \mathcal{B}_{\R^n})$上的测度$\mu$是 Borel 测度，如果对任意的 Borel 集$A$都是可测的。

性质

Borel σ-代数对集合的补运算封闭，对可列并以及可列交均封闭，对集合列的极限运算（上下限集）也封闭，因此是一个分析和代数性质都十分好的点集族。

Borel 集与可测集有如下关系：首先，Borel 集都是可测集。其次，可测集$E$和 Borel 集只相差一个零测集，这是说：

1. （$H$等测包）$E = H - Z_1$，其中$Z_1$是零测集，$H$是可数个开集的交集，是 Borel 集；
2. （$F$等测核）$E = F \cup Z_2$，其中$Z_2$是零测集，$F$是可数个闭集的并集，也是 Borel 集。

同一个可测空间上的有限 Borel 测度，只要它们在所有方体上取值相同，那么这两个 Borel 测度就是相同的。

Caratheodory 定理指出：$\R^n$上的一个外测度$\tau$，如果对任意有正距离的集合$A, B \in \R^n$成立

$$\tau(A \cup B) = \tau(A) + \tau(B).$$

那么$\tau$就是 Borel 测度。

拓扑可测空间

上述有限维 Euclid 空间中的 Borel 集可以做如下推广：假设有拓扑空间$X$及其中的一个开集族$\mathcal{O}$，我们称$\mathcal{O}$生成的σ代数$\mathcal{B}$为$X$上的 Borel 集合系，其中的集合称为$X$中的 Borel 集，同时称$(X, \mathcal{B})$为拓扑可测空间。

参考资料

1. 程士宏, 《测度论与概率论基础》, 北京大学出版社, 北京, 2006-06, ISBN 978-7-3010-6345-3.