Bolzano-Weierstrass 定理

Bolzano-Weierstrass 定理（波尔查诺-威尔斯特拉斯定理）又称聚点定理、列紧性定理，是一个实分析和拓扑中的定理，在实数理论中作为完备性等价定理之一。

内容

在 Euclid 空间中，任意有界闭集中的无限集合都有一个极限点（即聚点），或一个有界闭集中的任意序列必有一子序列在其集合中收敛。

实数情形

在实数集上，它表述为一个有界的无穷实数列必有收敛子列。如果将实数集同构到一条直线上，还可表述为直线上的有界无穷点集至少有一个聚点。

证明其它实数基本定理

确界定理

证设$S$是一个有上界数集, 则$\exists b \in \R$使得$\forall x \in S$有$x < b$, 取$a \in S$构造区间$[a, b]$。

定义性质$P:$区间中至少有一个数属于$S$且区间的右端点为$S$的一个上界.

利用二等分法容易构造出满足性质$P$的区间套$\left\{ \left[ a_{n}, b_{n} \right] \right\}.$

(1) 将$[a, b]$等分为两个子区间, 则至少有一个具有性质$P$, 不妨记该区间为$\left[a_1, b_1\right]$, 则$\left[ a_{1}, b_{1} \right] \subset [a, b];$

(2) 将$\left[a_1, b_1\right]$等分为两个子区间, 则至少有一个具有性质$P$, 不妨记该区间为$\left[ a_{2}, b_{2} \right]$,则$\left[ a_{2}, b_{2} \right] \subset \left[ a_{1}, b_{1} \right];$

(n) 将$\left[ a_{n-1}, b_{n-1} \right]$等分为两个子区间, 则至少有一个具有性质$P$, 不妨记该区间为$\left[a_n, b_n\right]$, 则$\left[ a_{n}, b_{n} \right] \subset \left[ a_{n-1}, b_{n-1} \right].$

由此可得一个区间套$\left\{ \left[ a_{n}, b_{n} \right] \right\}$且满足$b_{n}-a_{n} = \dfrac{b-a}{2^{n}} \rightarrow 0 \quad (1).$
有$\left\{ b_{n} \right\} \subset [a, b]$且单调递减有下界。我们证明$\exists \xi \in R, b_{n} \rightarrow \xi, (n \rightarrow \infty)$。事实上, 不妨设$\left\{ b_n \right\}$有无穷个数，由聚点定理知$\left\{ b_n \right\}$有聚点$\xi$。
因此$\forall \varepsilon > 0, \exists N > 0$使得$b_{N} \in U(\xi, \varepsilon)$且$b_{N} > \xi$。由于$\left\{ b_n \right\}$单调递减, 则易证$\forall n > N$有$b_{n} \in U(\xi, \varepsilon).$
由于$b_n$都为$S$的上界, $\xi \in U(\xi, \varepsilon)$所以$\xi$也为$S$的上界。由 (1) 易证$a_{n} \rightarrow \xi, (n \rightarrow \infty)$。
故$\forall \varepsilon > 0, \quad \exists N_{1} > 0, \forall n > N_{1}$有$a_{n} \in U(\xi, \varepsilon)$。
从而可知, $\forall n > N + N_{1}, \exists x \in S, \quad x \in \left[ a_{n}, b_{n} \right] \subset U(\xi, \varepsilon)$。
即$\xi - \varepsilon < x \leqslant \xi$
故$\xi$为$S$的上确界。

单调有界定理

不妨设$\left\{x_{n}\right\}$是单调有上界无穷数列, 即$\exists a, b \in R$, 使得$\left\{x_{n}\right\} \subset [a, b]$。故由聚点定理可知$\exists \xi \in R, \ni \xi$为$\left\{x_{n}\right\}$的聚点, 即$\forall \varepsilon > 0, U(\xi, \varepsilon)$含有$\left\{x_{n}\right\}$中的无限多项。由单调性易得知$U(\xi, \varepsilon)$外最多有$\left\{x_{n}\right\}$中的有限项, 因此由极限的一种等价定义得:

$$\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n} = \xi.$$

区间套定理

即证：若$\{ [a_n, b_n] \}_{n=1}^\infty$是一闭区间套，则存在唯一$\zeta$属于所有的闭区间$\{[a_n, b_n]\}_{n=1}^\infty.$

证：存在性：设$S = \left\{ a_n \right\} \cup \{ b_n\}$，则$S$是有界无限点集。由聚点定理得数集$S$有聚点$\zeta$。若存在一个$a_n, s.t. b_n > a_N > \zeta \quad(n \in \N^+$.
再取$\varepsilon = \dfrac{1}{2} (a_N - \zeta)$, 由$\{ a_n \}$的单调性, 当$n > N$时, $a_n > a_N > \zeta + \varepsilon$这样, $(\zeta - \varepsilon, \zeta + \varepsilon)$内至多有$S$中的有限个点，这就与$\zeta$是聚点矛盾，于是得到$\zeta \geqslant a_n$，同理有$\zeta \leqslant b_n$，进而得$\zeta \in \bigcap_{n=1}^\infty [a_n, b_n].$

唯一性：设数$\zeta'$也满足$a_n \leqslant \zeta' \leqslant b_n, \forall n \in \N^+.$
由于$a_n \leqslant \zeta \leqslant b_n, \forall n \in \N^+.$
因此$|\zeta' - \zeta| \leqslant b_n - a_n, \forall n \in \N^+.$
由区间套的条件，得$|\zeta' - \zeta| \leqslant \lim_{n \to \infty} (b_n - a_n) = 0.$
唯一性得证。

Heine-Borel 定理

即证明：闭区间$[a, b]$的任意开覆盖都有有限个子覆盖$\mathrm{H}$。

证

定义性质$\mathrm{p}:~$不能用$\mathrm{H}$中有限个开区间覆盖.

1. 找一个使它具有与性质$\mathrm{p}$相反的性质$\mathrm{p}^{-1}$的数集$S$;
   为此我们先证明$\delta > 0, x \in [a, b]$有开区间$\left( \alpha_0, \beta_{0} \right) \in \mathrm{H}$, 使$(x - \delta, x + \delta) \subset (\alpha_0, \beta_0).$否则, $\exists x_1 \in[a, b], \forall (\alpha, \beta) \in \mathrm{H}$, 都有$(x_1-1, x_1+1) \not\subset (\alpha, \beta), \exists x_2 \in [a, b]-\{ x_1 \}, \forall (\alpha, \beta) \in \mathrm{H}$, 都有$\left( x_2 - \dfrac{1}{2}, x_2 + \dfrac{1}{2}\right) \not\subset (\alpha, \beta)$.
   如此继续得一数列$\{ x_n \} \subset [a, b] - \left\{ x_1, x_2, \cdots, x_{n-1} \right\} , \forall (\alpha, \beta) \in \mathrm{H}$, 都有$\left( x_n - \dfrac{1}{n}, x_n + \dfrac{1}{n}\right) \not\subset (\alpha, \beta).$
2. 数集$\{ x_n \}$是有界无限点集;
3. 由聚点定理, 数列$\{ x_n \}$有聚点$\zeta$;
4. 由$\{ x_n \} \subset [a, b]$, 得$\zeta \in [a, b]$, 故存在一个开区间$\left( \alpha_1, \beta_1 \right) \in \mathrm{H}$, 使$\zeta \in \left(\alpha_1, \beta_1\right)$令$\delta_1 = \min \left\{ \zeta - \alpha_1, \beta_1 - \zeta \right\}$, 则$\exists N \in \mathbb{N}^+$, 使$N > \dfrac{2}{\delta_1}, x_N \in \left( \zeta - \dfrac{\delta_1}{2}, \zeta + \dfrac{\delta_1}{2} \right)$, 从而$\left( \zeta - \dfrac{1}{N}, \zeta + \dfrac{1}{N} \right) \subset (\alpha_1, \beta_1)$矛盾.
   

现在我们取$N = \left[ \dfrac{b-a}{\delta_1} \right] + 1, x_i = a + \dfrac{2i+1}{2n}(b-a), \forall i \in \mathbb{N}^+$设$( x_i - \delta, x_i + \delta) \subset \left( a_i, b_i \right) \in \mathrm{H}, i \in \mathbb{N}^+$, 则$\bigcup_{i=0}^{n-1} \left( a_i, b_i \right) \supset \bigcup_{i=0}^{n-1} \left( x_i - \delta, x_1 + \delta \right) \supset \left[ a, b \right]$, 因此所需结论成立.

Cauchy 收敛准则

设$\{ x_n \}$是 Cauchy 列, 则$\{ x_n \}$是有界的, 若$\{ x_n \}$中只有有限多个项不相同, 那么必有一项譬如$x_{n_0}$出现无限多次, 这时就得到$\{ x_n \}$的一个收敛子列$\{x_{n_k}\}$.
又因为$\{ x_n \}$是 Cauchy 列, 故对$\varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}^+$, 当$n > m > N$时$|x_n - x_m| < \varepsilon.$
特别地, 当$n > N, k > N$时由于$n_k > k > N$, 从而$\left| x_n - x_{n_k}\right|<\varepsilon.$
令$k \rightarrow \infty$, 得$\left|x_n - x_{n_0} \right| \leqslant \varepsilon$即$\lim_{n \rightarrow \infty} x_n = x_{n_0}.$
若$\{ x_n \}$中有无限多项互不相同, 则数集$S = \{ x_n \}$是一有界无限点集, 根据聚点定理,$S$至少有一聚点$\zeta$, 由聚点的定义,$\forall k \in \mathbb{N}^+$, 在$U\left(\zeta, \dfrac{1}{k}\right)$中, 必含有$\{ x_n \}$的无限多项, 从而在$U\left(\zeta, \dfrac{1}{k}\right)$中可选出一项$x_{n_k} \neq \zeta$, 由于$k$的任意性, 所以$\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n_k}=\zeta.$
同上可知, $\lim_{n \rightarrow \infty} x_n = \zeta.$

参考资料

1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.