Bochner 积分

Bochner 积分是定义向量值函数的积分的延伸概念，它是向量值函数对应 Lebesgue 积分在强算子拓扑下的定义，弱算子拓扑下的定义可导出另外一种积分——Pettis 积分。

定义

假设$X$是 Banach 空间，$(U, \mathcal{F}, \mu)$是全σ有限的完全测度空间。像测度的积分那样，我们需要先引入“简单函数”的 Bochner 积分：

假设$x: U \to X$是可数值的向量值函数，如果$\| x(t) \|$是 Lebesgue 可积的，就称$x(t)$是 Bochner 可积的，且此时记它在任意可测集$E \in \mathcal{F}$上的 Bochner 积分为

$$(B) \int_E x(t) \mathrm{d}\mu(t) := (L) \int_E x(t) \mathrm{d}\mu(t).$$

接下来我们定义一般（强可测）函数的积分，使用简单函数逼近的典型方法。

假设向量值函数$x: U \to X$是 Bochner 可积的几乎处处强收敛的可数值向量值函数列$\{ x_n \}$的极限，且

$$\lim_{n \to \infty} (L) \int_U \| x(t) - x_n(t) \| \mathrm{d}\mu(t) = 0.$$

那么定义$x(t)$在$E \subset \mathcal{F}$上的 Bochner 积分为

$$(B) \int_E x(t) \mathrm{d}\mu(t) := \lim_{n \to \infty} (B) \int_E x_n(t) \mathrm{d}\mu(t).$$

Bochner 可积的函数$x$是 Pettis 可积的，且当$x$是 Bochner 可积时在任意可测集上其积分值等于 Pettis 积分值。

绝对可积性

对 Bochner 积分来说，可积和绝对可积等价，这就是说：

假设同定义，向量值函数$x: U \to X$是 Bochner 可积的当且仅当$x(t)$强可测且$(L) \int_U \| x(t) \| \mathrm{d}\mu(t) < +\infty.$

Banach 空间

我们将测度空间$(U, \mathcal{F}, \mu)$上取值于 Banach 空间$X$的全体 Bochner 可积的向量值函数全体记作$B(U, X, \mu)$，下面的性质表明：$B(U, X, \mu)$是 Banach 空间。

1. 线性性：$\forall \alpha, \beta \in \C, x, y \in B(U, X, \mu)$可得$\alpha x + \beta y \in B(U, X, \mu)$且$\forall E \in \mathcal{F}$都有$\int_E (\alpha x + \beta y)(t) \mathrm{d}\mu(t) = \alpha \int_E x(t) \mathrm{d}\mu(t) + \beta \int_E y(t) \mathrm{d}\mu(t).$
2. 假设$x(t) = y(t), \text{a.e. } t \in U$，那么$x$是 Bochner 可积当且仅当$y$是 Bochner 可积的，且此时二者在任意可测集$E \subset \mathcal{F}$上积分值相等。
3. $\forall E \in \mathcal{F}, \left\| \int_E x(t) \mathrm{d}\mu(t) \right\| \leqslant \int_E \| x(t) \| \mathrm{d}\mu(t).$因此可以定义$\| x \| = \int_U \| x(t) \| \mathrm{d}\mu(t)$，可以证明它是范数。
4. 上述赋范线性空间是完备的。
5. 由定义还可知，可积的可数值函数全体在$B(U, X, \mu)$中稠密。

控制收敛定理

Lebesgue 积分中的控制收敛定理对 Bochner 积分依旧有效，即：假设$\{ x_n(t) \}$是 Bochner 可积的，且

1. $\{ x_n(t) \}$几乎处处强收敛于$x(t).$
2. 存在测度空间$(U, \mathcal{F}, \mu)$上的可积函数$F(t)$使得$\| x_n(t) \| \leqslant F(t), \forall t \in U, n = 1,2,\cdots.$

那么$x(t) \in B(U, X, \mu)$且$\forall E \in \mathcal{F}$都有

$$\int_E x(t) \mathrm{d}\mu(t) = \lim_{n \to \infty} \int_E x_n(t) \mathrm{d}\mu(t).$$

由此可证得强绝对连续性和强可列可加性

强可列可加性：假设$\{ E_k \}$是$U$中两两不交的可测集，$x(t) \in B(U, X, \mu)$，$E = \bigcup_{k=1}^\infty E_k$，那么

$$\int_E x(t) \mathrm{d}\mu(t) = \sum_{k=1}^\infty \int_{E_k} x(t) \mathrm{d}\mu(t).$$

强绝对连续性：假设$x(t) \in B(U, X, \mu)$，那么对任意$\varepsilon > 0$存在$\delta > 0$使得当可测集$E \subset \mathcal{F}$的测度$\mu(E) < \delta$时有

$$\left\| (B) \int_E x(t) \mathrm{d}\mu(t) \right\| < \varepsilon.$$

Fubini 定理

假设$x(t, s)$是$(U_1 \times U_2, \mathcal{F}_1 \times \mathcal{F}_2, \mu_1 \times \mu_2)$上的 Bochner 可积函数，那么：

1. $y(t) = \int_{U_1} x(t, s) \mathrm{d}\mu_2(s), z(s) = \int_{U_2} x(t, s) \mathrm{d}\mu_1(t)$分别在$U_1, U_2$上几乎处处有定义。
2. $\int_{U_1 \times U_2} x(t, s) \mathrm{d}\mu_1 \times \mu_2(t, s) = \int_{U_1} y(t) \mathrm{d}\mu_1(t) = \int_{U_2} z(s) \mathrm{d}\mu_2(s).$

稠密性

当$U = \R^n$时，阶梯函数（可测集的特征函数之线性组合）的全体在$B(\R^n, X, m)$中稠密，这里$m$是 Lebesgue 测度，进一步，紧支集的连续函数之全体在$B(\R^n, X, m)$中稠密，进一步可得绝对连续性：

假设$x(t) \in B(\R^n, X, m)$，那么对任意$\alpha \in \R^n$有

$$\lim_{\alpha \to 0} \int_{\R^n} \| x(t) - x(t+\alpha) \| \mathrm{d}m(t) = 0.$$

如果$f: \R^n \to \R$是有界可测函数，那么

$$\xi \mapsto \int_{\R^n} f(t) x(t + \xi) \mathrm{d}m(t)$$

是连续的。

参考资料

1. 夏道行, 《泛函分析第二教程》, 高等教育出版社, 北京, 2009-01, ISBN 978-7-0402-4750-3.