Bessel 函数

Bessel 函数是 Bessel 方程的解，Bessel 方程是指如下关于复变函数$y = y(z)$的二阶常微分方程： $$\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}z^2} + \dfrac{1}{z} \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}z} + \left( 1 - \dfrac{\nu^2}{z^2} \right) y = 0$$ 其中，复常数$\nu$称为方程的阶数或解的阶数。这种类型的方程在解二维波方程的边值问题时遇到。该方程有两个奇点，$0, \infty$分别是正则和非正则的奇点。

第一类 Bessel 函数

当$2\nu$非整数时，原方程在原点处有两个线性无关的解，分别记做$J_{+\nu}(z), J_{-\nu}(z)$，此时方程有两个指标$\pm \nu$。按照二阶线性常微分方程的正则奇点的求解，可以得到这两个解的级数表达： $$J_{\pm \nu}(z) = \sum_{k=0}^\infty \dfrac{(-1)^k}{k!} \dfrac{1}{\Gamma(\pm\nu+k+1)}\left( \dfrac{z}{2} \right)^{k\pm\nu} \quad (*)$$

当$2\nu = 2n$时，上述两个依然是原方程的解，但它们已经不是线性相关的了，容易观察到 $$J_{-n}(z) = (-1)^n J_n (z).$$ 这是需要想办法寻求另外一个线性无关的解，这就引出第二类 Bessel 函数。

当$2\nu = 2n+1$时，方程的上述两个解依然线性无关。

我们称由$(*)$定义的两个函数是$\nu$阶第一类 Bessel 函数，或简称$\nu$阶 Bessel 函数。当$\nu$不是整数时，它是关于$z$在割去负实轴后的解析函数，而关于$\nu$是整函数。

性质

基本性质：

1. 导数递推关系：$$\begin{align} \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} (z^\nu J_\nu(z)) &= z^\nu J_{\nu-1}, \\ \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} (z^{-\nu} J_{-\nu}(z)) &= -z^{-\nu} J_{\nu+1}. \end{align}$$
2. 基本递推关系：$$\begin{align} J_{\nu-1} + J_{\nu+1} &= 2\nu z^{-1} J_{\nu}, \\ J_{\nu-1} - J_{\nu+1} & = 2J'_\nu. \end{align}$$
3. 旋转公式：$J_{\pm \nu}(z\text{e}^{\text{i}\pi}) = \text{e}^{\pm\nu\text{i}\pi} J_{\pm\nu}(z).$
4. 高阶导数递推关系：$$\begin{align} \left(\dfrac{\mathrm{d}}{z\mathrm{d}z}\right)^m (z^\nu J_\nu(z)) & = z^{\nu-m} J_{\nu-m}, \\ \left(\dfrac{\mathrm{d}}{z\mathrm{d}z}\right)^m (z^{-\nu} J_{-\nu}(z)) & = (-1)^m z^{-\nu-m} J_{\nu+m}. \end{align}$$

其他性质：

1. $J_{\nu+n}(z) = \dfrac{(-\text{i})^n \Gamma(2\nu) n! (z/2)^n}{\sqrt{\pi}\Gamma(\nu+1/2) \Gamma(2\nu+n)} \int_0^\pi \text{e}^{\text{i}z \cos\theta} \sin^{2\nu}\theta C_n^\nu (\cos\theta) \mathrm{d}\theta.$
   其中$C_n^\nu(x)$是特种球多项式，$n \in \N, \text{Re}(\nu+1/2) > 0.$
2. $\begin{align} J_\nu(z\sqrt{1+k}) & = (1+k)^\frac{nu}{2} \sum_{m=0}^\infty \dfrac{(-1)^m}{m!} \left( \dfrac{kz}{2} \right)^m J_{\nu+m}(z) \\ & = (1+k)^{-\frac{nu}{2}} \sum_{m=0}^\infty \dfrac{1}{m!} \left( \dfrac{kz}{2} \right)^m J_{\nu-m}(z), \end{align} \quad |k| < 1.$
3. $J_\nu(z) = \dfrac{\Gamma(\mu+1)}{\Gamma(\nu-\mu)} \sum_{m=0}^\infty \dfrac{\Gamma(\nu-\mu-m)}{m!\Gamma(\nu+m+1)} \left( \dfrac{z}{2} \right)^{\nu-\mu+m} J_{\mu+m}(z).$这里$\mu \ne \nu, \mu \ne -1,-2,\cdots.$
4. $\dfrac{z^2}{4} \left[ J_{\nu-1}^2(z) - J_{\nu-2}(z) J_\nu(z) \right] = \sum_{n=0}^\infty (\nu+2n) J_{\nu+2n}^2 (z).$

半奇数阶 Bessel 函数

当$2\nu = 2n+1$时上述定义的 Bessel 函数有更好的性质：可以表达为初等函数，即 $$\begin{align} J_{n+1/2} & = (-1)^n \sqrt{\frac{2}{\pi z}} z^{n+1} \left( \dfrac{\mathrm{d}}{z\mathrm{d}z} \right)^m \dfrac{\sin z}{z}, \\ J_{-n-1/2} & = \sqrt{\frac{2}{\pi z}} z^{n+1} \left( \dfrac{\mathrm{d}}{z\mathrm{d}z} \right)^m \dfrac{\cos z}{z}. \end{align}$$ 它们的显式表达式是

$$\begin{align} J_{n+1/2} & = \sqrt{\frac{2}{\pi z}} \sin \left( z - \frac{n\pi}{2} \right) \sum_{r=0}^\left[\frac{n}{2}\right] \dfrac{(-1)^r (n+2r)!}{(2r)!(n-2r)!(2z)^{2r}} + \cos \left( z - \dfrac{n\pi}{2} \right) \sum_{r=0}^\left[\frac{n=1}{2}\right] \dfrac{(-1)^r (n+2r+1)!}{(2r+1)!(n-2r-1)!(2z)^{2r+1}}, \\ J_{-n-1/2} & = \sqrt{\frac{2}{\pi z}} \cos \left( z + \frac{n\pi}{2} \right) \sum_{r=0}^\left[\frac{n}{2}\right] \dfrac{(-1)^r (n+2r)!}{(2r)!(n-2r)!(2z)^{2r}} - \sin \left( z + \dfrac{n\pi}{2} \right) \sum_{r=0}^\left[\frac{n=1}{2}\right] \dfrac{(-1)^r (n+2r+1)!}{(2r+1)!(n-2r-1)!(2z)^{2r+1}}, \\\end{align}$$

如下的式子左端可以视作奇数阶 Bessel 函数的母函数： $$\begin{align} \sqrt{\dfrac{2}{\pi z}} \cos \sqrt{z^2-2zt} & = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{t^n}{n!} J_{n-1/2}(z), \\ \sqrt{\dfrac{2}{\pi z}} \sin \sqrt{z^2+2zt} & = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{t^n}{n!} J_{1/2-n}(z). \end{align}$$ 这里$|t| < 1/2.$

整数阶 Bessel 函数

当$2\nu = 2n$时，$J_n (z)$是$z$的整函数，它有如下更特殊的性质：

1. 母函数：$\exp \dfrac{z}{2}\left( t - \frac{1}{t} \right) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} J_n(z) t^n.$
2. $\text{e}^{\text{i}z\cos\theta} = J_0(z) + 2\sum_{n=1}^\infty \text{i}^n J_n(z) \cos n\theta.$
3. $J_0(z) + 2\sum_{n=1}^\infty J_{2n}(z) = 1.$
4. $\sum_{n=-\infty}^{+\infty} J_n^2(z) = 1.$
5. 当$x \in \R$时，$|J_0(x)| \leqslant 1, |J_n(x)| \leqslant 1/\sqrt{2}, n = 1,2,3,\cdots.$
6. 加法公式：$J_n(x+y) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} J_k(x) J_{n-k}(x-y).$
7. 假设$R = \sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1r_2\cos\theta}$，那么$J_0(R = J_0(r_1)J_0(r_2) + 2\sum_{m=1}^\infty J_m(r_1) J_m(r_2) \cos m\theta.$
8. $\dfrac{\mathrm{d}^r}{\mathrm{d}z^r} J_n(z) = \dfrac{1}{2^r} \sum_{k=0}^r (-1)^k \binom{k}{r} J_{n-r+2k}(z)$
9. $z \sin z = 2 \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} (2k)^2 J_{2k}(z)$
   $z \cos z = 2 \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} (2k-1)^2 J_{2k-1}(z)$
10. $J_{2n}(z) = (-1)^n \sum_{m=0}^n (-1)^m \dfrac{2^m}{m!} \prod_{k=0}^{m-1}(n^2-k^2) \dfrac{J_m(z)}{z^m}.$
11. $J_n^2(z) = \sum_{m=0}^\infty \dfrac{(-1)^m (2n+2m)!}{m!(2n+m)!(n+m)!^2} \left( \dfrac{z}{2} \right)^{2n+2m}.$
12. $J_0(\theta) = \lim_{n\to\infty} P_n\left(\cos \dfrac{\theta}{n} \right).$这里$P_n(x)$是 Legendre 多项式。

积分表达式

$J_n (z)$有如下的一些积分表示：

1. Poisson 表达式：$J_n(z) = \dfrac{(z/2)^n}{\sqrt{\pi} \Gamma(n+1/2)} \int_0^\pi \cos(z\cos\theta) \sin^{2n} \theta \mathrm{d}\theta.$
2. Bessel 表达式：$J_n(z) = \dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \cos(n\theta - z\sin\theta) \mathrm{d}\theta.$
3. $J_0(\sqrt{z^2 - t^2}) = \dfrac{1}{\pi}\int_0^\pi \text{e}^{t \cos \theta} \cos(z\sin\theta) \mathrm{d}\theta.$
4. $\begin{align} J_n^2(z) &= \dfrac{1}{\pi} \int_0^\pi J_{2n} (2z\cos\theta)\mathrm{d}\theta \\ &= \dfrac{2}{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} J_{2n}(2z\sin\theta) \mathrm{d}\theta \\ &= \dfrac{1}{\pi} \int_0^\pi J_{2n}(2z\sin\theta) \mathrm{d}\theta \\ &= \dfrac{1}{\pi} \int_0^\pi J_0(2z\sin\theta) \cos2n\theta \mathrm{d}\theta. \end{align}$

z/2的幂次展开

$$\left( \dfrac{z}{2} \right)^m = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{(m+n-1)!(m+2n)}{n!} J_{m+2n}(z).$$ 此外还有 $$\begin{align} \left( \dfrac{z}{2} \right)^{2m} & = \dfrac{(m!)^2}{(2m)!} \sum_{n=0}^\infty \dfrac{(2m+n-1)!(2m+2n)}{n!} J^2_{m+n}(z), \\ \left( \dfrac{z}{2} \right)^{2m-1} & = \dfrac{m!(m-1)!}{(2m-1)!} \sum_{n=0}^\infty \dfrac{(2m+n-2)!(2m+2n-1)}{n!} J_{m+n-1}(z) J_{m+n}(z). \end{align}$$ 一般地，假设$\nu \ne -1,-2,\cdots$，那么有 $$\left( \dfrac{z}{2} \right)^\nu = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{(\nu+2n)\Gamma(\nu+n)}{n!} J_{\nu+2n}(z).$$ 进一步假设$\nu, \mu, \nu-\mu \ne -1,-2,\cdots$，那么有 $$\left( \dfrac{z}{2} \right)^{\mu-\nu} J_\nu(z) = \Gamma(\nu+1-\mu) \sum_{n=0}^\infty \dfrac{(\mu+2n)\Gamma(\mu+n)}{n!\Gamma(\nu+1-\mu-n)\Gamma(\nu+n+1)} J_{\mu+2n}(z).$$

参考资料

1. 王竹溪, 郭敦仁, 《特殊函数概论》, 北京大学出版社, 北京, 2000-05, ISBN 978-7-3010-4530-5.