Bessel 不等式

Bessel 不等式是内积空间中的一个不等式。

内容

假设有内积空间$V$，$\{ e_\lambda | \lambda \in \Lambda \}$是以$\Lambda$为指标集的正交规范集，那么 $$\forall x\in V,\quad \sum _{\lambda \in \Lambda }|(x,e_{\lambda })|^{2}\leqslant \|x\|^{2},$$ 其中$\| \cdot \|$是由内积诱导的范数。

进一步（推论），如果$V$是 Hilbert 空间，那么$\sum_{\lambda \in \Lambda} (x, e_\lambda) \in V$且 $$\left\Vert x - \sum_{\lambda \in \Lambda} (x, e_\lambda) e_\lambda \right\Vert^2 = \| x \|^2 - \sum_{\lambda \in \Lambda} |(x, e_\lambda)|^2.$$

Hilbert 空间中，Bessel 不等式的等号成立的条件是正交规范集$\{ e_\lambda | \lambda \in \Lambda \}$在$V$中完备，这时便有 Parseval 等式。

注意：非完备的内积空间不一定成立 Parseval 等式，这表明，这种空间即使有标准正交基（即完备的正交规范集）也不一定能对其中的元素作基的展开。

证明

假设$\Lambda$是有限子集，不妨设其为$\Lambda = \{ 1,2,\cdots,n \}$，我们先证明 $$\forall x \in V, \quad \sum_{k=1}^n |(x, e_k)|^2 \leqslant \| x \|^2.$$ 实际上， $$\begin{align} 0 & \leqslant \left\Vert x - \sum_{k=1}^n (x, e_k) e_k \right\Vert^2 \\ & = \left( x - \sum_{k=1}^n (x, e_k) e_k, x - \sum_{k=1}^n (x, e_k) e_k \right) \\ & = \| x \|^2 - \sum_{k=1}^n |(x, e_k)|^2. \end{align}$$ 由于#A1是至多可数项求和，即使得$(x, e_\lambda) \ne 0$的$\lambda \in \Lambda$是至多可数的，因此由一致性可得原不等式成立。由此不等式可知可数项求和时，不妨假设$\Lambda = \{ 1,2,\cdots \}$，那么数项级数 $$\sum_{k=1}^\infty |(x, e_k)|^2 < +\infty.$$

推论的证明

不妨假设$\Lambda = \{ 1,2,\cdots \}$，那么下面的式子表明，$\left\{ x_n := \sum_{k=1}^n |(x, e_n)|^2 \right\}$是 Cauchy 列： $$\| x_{n+p} - x_n \|^2 = \left\| \sum_{k=n}^{n+p} (x, e_k) e_k \right\|^2 \leqslant \sum_{k=n}^{n+p} |(x, e_k)|^2 \to 0, \quad n \to \infty, \forall p \in \N.$$ 由 Hilbert 空间的完备性可知，$\{ x_n \}$是收敛列，不妨假设$\lim_{n \to \infty} x_n \in V.$ 注意到 $$\left( x - \sum_{n=1}^\infty (x, e_n) e_n, e_k \right) = (x, e_k) - (x, e_k)(e_k, e_k) = 0, \quad \forall k \in \N.$$ 因此 $$x - \sum_{n=1}^\infty (x, e_n) e_n \perp \sum_{n=1}^\infty (x, e_n) e_n.$$ 进而 $$\left\Vert x - \sum_{k=1}^n (x, e_k) e_k \right\Vert^2 = \| x \|^2 - \sum_{k=1}^n |(x, e_k)|^2.$$ 后续证明详见 Parseval 等式。

参考资料

1. 张恭庆, 林源渠, 《泛函分析讲义（上册）（第二版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-01, ISBN 978-7-3013-0964-3.