Besov 空间

Besov 空间是偏微分方程理论中的一类常用的涉及到导数和 Fourier 变换的函数空间，它是 Sobolev 空间的实内插空间。

定义

我们先构造一个函数$\varphi :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C}$，它满足：

1. 是 Schwartz 函数。
2. 支集在$\{\xi :1/2\leqslant |\xi |\leqslant 2\}$中且$\varphi$在其内部严格非负。
3. 对任意的$\xi \neq 0$都有$\sum _{k=-\infty }^{+\infty }\varphi (2^{k}\xi )=1.$

满足上述条件的函数有很多，比方说，我们先取满足前三个条件的任意函数$f$，然后令$F(\xi )=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }f(2^{k}\xi )$，最后$f/F$就满足所有的条件。

令$\varphi _{k}={\mathcal {F}}^{-1}\varphi (2^{-k}\xi )$以及$\psi (\xi )={\mathcal {F}}^{-1}\left(1-\sum _{k=1}^{\infty }\varphi (2^{-k}\xi )\right)$

下面我们来定义 Besov 空间：

假设$s\in \mathbb {R} ,1\leqslant p,q\leqslant +\infty$，我们收集满足如下条件

$$\|f\|_{B_{p,q}^{s}}:=\|\psi *f\|_{L^{p}}+\|\{2^{sk}\|\varphi _{k}*f\|_{p}\}_{k=1}^{\infty }\|_{l^{q}},$$

的所有函数$f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})$构成 Besov 空间$B_{p,q}^{s}.$这是一个赋范线性空间。

这个空间的定义不依赖于$\varphi$的选取。指标$p$是积分指标，和$L^p$空间，Sobolev 空间$W^{m,p}$中的$p$意义相同；指标$s$是维数指标，是$W^{m,p}$中$m$的推广，后文将指出$s$取整数的时候可以用导数来刻画这个空间；$q$是内插指标，可见#内插性质，此外，这个指标还可以衡量比指标$s$能衡量的更细致的$f$的正则性，参见#嵌入关系。

如果$p=q=+\infty$，那么相应的 Besov 空间也被称为 Hölder-Zygmund 空间，它是一般的 Hölder 空间在$s > 1$场合下的推广。

在上述定义中，我们使用的是对$\varphi$进行的二进分解，实际上，对任意的正实数$q$都可以进行类似的讨论，这不影响各种相关的结论，只是把所有出现二进分解的$2$都要替换为$q$，得到的 Besov 空间是彼此等价的。

嵌入关系

由定义我们可以直接得到如下两个单调连续嵌入的关系：

$${\begin{aligned}s_{1}<s_{2}&\Longrightarrow B_{p,q}^{s_{2}}\subset B_{p,q}^{s_{1}},\\q_{1}<q_{2}&\Longrightarrow B_{p,q_{1}}^{s}\subset B_{p,q_{2}}^{s}.\end{aligned}}$$

不存在单独的关于积分指标$p$的嵌入，这是因为全空间上$L^p$空间首先就没有这样的嵌入，但是有 Sobolev 型的嵌入定理。

假设$s \in \R$，$\varepsilon > 0$，$1\leqslant q\leqslant +\infty$，那么存在连续嵌入$B_{p,\infty }^{s+\varepsilon }\subset B_{p,1}^{s}.$

关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠

这个命题是如下事实的直接结果：

如果$\{2^{(s+\varepsilon )k}u_{k}\}_{k}\in l^{\infty }(\mathbb {N} )$，那么$\{2^{sk}u_{k}\}_{k}\in l^{1}(\mathbb {N} )$，于是

这是因为对任意的$\{2^{(s+\varepsilon )k}u_{k}\}_{k}\in l^{\infty }(\mathbb {N} )$，其中$u_{k}\in X$，$X$是 Banach 空间。 $${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }2^{sk}\|u_{k}\|_{X}\leqslant \left(\sum _{k=0}^{\infty }2^{-\varepsilon k}\right)\sup _{k\in \mathbb {N} }\|2^{(s+\varepsilon )k}u_{k}\|_{X}<+\infty .\end{aligned}}$$

上述两个连续嵌入直接表明了：

对任意的$1\leqslant p,q_{1},q_{2}\leqslant +\infty$以及$s_{1}>s_{2}$，如果$p_1<p_2$，那么我们就有连续嵌入$B_{p,q_{1}}^{s_{1}}\subset B_{p,q_{2}}^{s_{2}}.$

这也就是“$q$衡量了比$s$更细致的正则性”的数学含义。

内插性质

Besov 空间的很多基本性质都可以通过下面这一事实得到。

假设$s_{0},s_{1}\in \mathbb {R} ,s_{0}\neq s_{1},1\leqslant p,q\leqslant +\infty$，那么

$$(H_{p}^{s_{0}},H_{p}^{s_{1}})_{\theta ,q}=B_{p,q}^{s},\quad \forall \theta \in (0,1).$$

记号详见实内插空间以及 Bessel 位势空间，其中$s=(1-\theta )s_{0}+\theta s_{1}.$

下面是其它一些更一般的内插空间公式：

假设$0<\theta<1$，令$s,s_{0},s_{1},p,p_{0},p_{1},q,q_{0},q_{1},r$是给定的实数，令

$${\begin{aligned}s^{*}&=(1-\theta )s_{0}+\theta s_{1}\\{\frac {1}{p^{*}}}&={\frac {1-\theta }{p_{0}}}+{\frac {\theta }{p_{1}}}\\{\frac {1}{q^{*}}}&={\frac {1-\theta }{q_{0}}}+{\frac {\theta }{q_{1}}}\end{aligned}}$$

那么我们有$${\begin{aligned}\left(B_{p,q_{0}}^{s_{0}},B_{p,q_{1}}^{s_{1}}\right)_{\theta ,r}&\cong B_{p,r}^{s^{*}},&&\left(s_{0}\neq s_{1},1\leqslant p\leqslant +\infty ,1\leqslant r,q_{0},q_{1}\leqslant +\infty \right),\\\left(B_{p,qq_{0}}^{s},B_{p,q_{1}}^{s}\right)_{\theta ,q^{*}}&\cong B_{p,q^{*}}^{s},&&\left(1\leqslant p,q_{0},q_{1}\leqslant +\infty \right)\\\left(B_{p_{0},q_{0}}^{s_{0}},B_{p_{1},q_{1}}^{s_{1}}\right)_{\theta ,p^{*}}&\cong B_{p^{*},q^{*}}^{s^{*}},&&\left(s_{0}\neq s_{1},p^{*}=q^{*},1\leqslant p_{0},p_{1},q_{0},q_{1}\leqslant +\infty \right).\\\end{aligned}}$$

这些结论的证明均可利用#收缩性质转化为（向量值）$L^p$空间的相关内插结论，然后运用这个定理即可。

完备性和稠密性

Besov 空间是完备的，这一事实由上述内插性质、实内插空间的拓扑性质以及 Bessel 位势空间完备这三个事实得到。

基本空间$\mathcal{D}(\R^n)$以及 Schwartz 空间$\mathcal{S}(\R^n)$在$B_{p,q}^{s}$（$p,q<+\infty$）中稠密，这是因为当$p < +\infty$的时候它们都在对应的 Bessel 位势空间$H_{p}^{s}$中稠密，然后由#内插性质以及得到 Besov 空间中的稠密性。

整数阶空间

下面这个定理表明了，当$s$取正整数的时候，Besov 空间可以使用函数的各阶导数以及连续模刻画。

假设$s>0$且$N$是$s$的整数部分，那么对任意的$1<p<+\infty ,1\leqslant q\leqslant +\infty$都有

$$\|f\|_{B_{p,q}^{s}}\sim \sum _{|\alpha |\leqslant N}\|D^{\alpha }f\|_{p}+\left(\sum _{|\alpha |=N}\int _{0}^{\infty }{\big [}t^{N-s}\omega _{p}(t,D^{\alpha }f(t)){\big ]}^{q}{\dfrac {\mathrm {d} t}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}.$$ $q=+\infty$的时候按照下确界代替积分。其中一阶$p$次连续模$\omega _{p}(t,f)=\sup _{|y|\leqslant t}\|f(\cdot +y)-f(\cdot )\|_{p}.$

更一般地，我们有：

假设$m,N$是正整数且$0<s<m+N,0\leqslant N<s$，那么对任意的$1\leqslant p,q\leqslant +\infty$都有

$$\|f\|_{B_{p,q}^{s}}\sim \|f\|_{p}+\sum _{i=1}^{N}\left(\int _{0}^{\infty }{\big [}t^{N-s}\omega _{p}^{m}(t,D^{N}f(t)){\big ]}^{q}{\dfrac {\mathrm {d} t}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}$$

其中$m$阶$p$次连续模$\omega _{p}^{m}(t,f)=\sup _{|y|\leqslant t}\|\Delta _{y}^{m}f\|_{p}$，$m$阶差分算子$\Delta _{y}^{m}(f)=\sum _{k=0}^{m}{\binom {m}{k}}(-1)^{k}f(x+ky).$

#定理5.1就是$m$取$1$的情况，证明参见页尾#参考资料1。

从上述定理中也可以看到 $$f\in B_{p,q}^{s}\iff D^{\alpha }f\in B_{p,q}^{s-k},\quad \forall \alpha :|\alpha |\leqslant k.$$ 当然要求$1 < p < +\infty.$且这个时候我们有等价范数 $$\|f\|_{B_{p,q}^{s}}\sim \sum _{|\alpha |\leqslant k}\|D^{\alpha }f\|_{B_{p,q}^{s-k}}.$$

共轭空间

假设$s\in \mathbb {R} ,1\leqslant p,q<+\infty$，那么$(B_{p,q}^{s})^{*}=B_{p',q'}^{-s}.$其中${\dfrac {1}{p}}+{\dfrac {1}{p'}}={\dfrac {1}{q}}+{\dfrac {1}{q'}}=1.$

关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠

借助#内插性质以及内插空间对偶定理得到结论。

收缩性质

下面这个结果表明了 Besov 空间和我们最熟悉的 Lp 空间之间的关系：Besov 空间是范畴意义下的收缩空间，或者说某个意义下的商空间。

假设$s\in \mathbb {R} ,1\leqslant p,q\leqslant +\infty$，那么存在单的连续线性映射$\iota :B_{p,q}^{s}\to l_{q}^{s}(\mathbb {N} ,L^{p}(\mathbb {R} ^{n}))$，满的连续线性映射$\pi :l_{q}^{s}(\mathbb {N} ,L^{p}(\mathbb {R} ^{n}))\to B_{p,q}^{s}$使得$\pi \circ \iota ={\text{Id}}_{B_{p,q}^{s}}.$其中空间$l_{q}^{s}(\mathbb {N} ,L^{p}(\mathbb {R} ^{n}))$也简记作$l_{q}^{s}(L^{p})$，它收集的序列$\{u_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }$满足：$u_{k}\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n})$以及$\|\{u_{k}\}_{k}\|_{l_{q}^{s}(L^{p})}:=\|\{2^{ks}\|u_{k}\|_{L^{p}}\}_{k}\|_{l^{q}}<+\infty .$其中$l_{q}^{0}$就是通常的序列空间$l^q$。

关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠

我们先指出$\iota ,\pi$的构造：假设$\varphi _{k},\psi$按照#定义中的记号选取，$\iota$是缓增分布空间${\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})$到缓增分布空间的序列空间上的映射，且分量满足 $$(\iota (f))_{0}=\psi *f,\quad (\iota (f))_{k}=\varphi _{k}*f,\quad \forall j=1,2,\cdots .$$ 反过来，$\pi$就是缓增分布空间的序列空间到缓增分布空间的映射，且 $$\pi (\alpha )=\sum _{k=0}^{\infty }{\tilde {\varphi }}_{k}*\alpha _{k},\quad \forall \alpha =(\alpha _{k})_{k},\alpha _{k}\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n}).$$ 其中$${\tilde {\varphi }}_{0}=\psi +\varphi _{1},\quad {\tilde {\varphi }}_{k}=\varphi _{k-1}+\varphi _{k}+\varphi _{k+1},\quad \forall k=1,2,\cdots .$$ 当然上述定义只对级数求和在缓增分布空间中绝对收敛的情况有意义，即$\pi$的定义域实际上是使得上式绝对可和的那些$\alpha.$注意我们有如下事实： $$\varphi _{k}*f=(\varphi _{k-1}+\varphi _{k}+\varphi _{k+1})*\varphi _{k}*f.$$ 以及 $$\psi *f=(\psi +\varphi _{1})*\psi *f.$$ 于是就有 $$(\pi \circ \iota )(f)=f,\quad \forall f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n}).$$ 余下的我们就是要证明$\iota ,\pi$满足定理中的两个空间关系。

1. $\iota :B_{p,q}^{s}\to l_{q}^{s}(\mathbb {N} ,L^{p}(\mathbb {R} ^{n}))$：这仅需注意到如下等价范数$$\|f\|_{B_{p,q}^{s}}\sim \|\{2^{ks}\|(\iota (f))_{k}\|_{p}\}_{k\geqslant 0}\|_{l^{q}}=\|\iota (f)\|_{l_{q}^{s}(\mathbb {N} ,L^{p})}.$$
2. $\pi :l_{q}^{s}(\mathbb {N} ,L^{p}(\mathbb {R} ^{n}))\to B_{p,q}^{s}$：由于$$\psi *\pi (\alpha )=\psi *\alpha _{0},\quad \varphi _{k}*\pi (\alpha )=\varphi *\alpha _{k},\quad k=1,2,\cdots .$$就有$${\begin{aligned}\|\pi (\alpha )\|_{B_{p,q}^{s}}&=\|\psi *\alpha _{0}\|_{p}+\left(\sum _{k=1}^{\infty }(2^{ks}\|\varphi _{k}*\alpha _{k}\|_{p})^{q}\right)^{\frac {1}{q}}\\&\leqslant C\|\alpha _{0}\|_{p}+C\left(\sum _{k=1}^{\infty }(2^{ks}\|\alpha _{k}\|_{p})^{q}\right)^{\frac {1}{q}}\\&=C\|\alpha \|_{l_{q}^{s}(\mathbb {N} ,L_{p})}.\end{aligned}}$$

此外我们还有关于 Bessel 位势空间的收缩性质：

假设$s\in \mathbb {R} ,1\leqslant p\leqslant +\infty$，那么上述定理中的单和满的$\iota ,\pi$还满足：$\iota :H_{p}^{s}\to L^{p}(\mathbb {R} ^{n},l_{2}^{s})$，满的连续线性映射$\pi :L^{p}(\mathbb {R} ^{n},l_{2}^{s}(\mathbb {N} ))\to H_{p}^{s}$使得$\pi \circ \iota ={\text{Id}}_{H_{p}^{s}}.$其中空间$L^{p}(\mathbb {R} ^{n},l_{2}^{s}(\mathbb {N} ))$简记作$L^{p}(l_{2}^{s})$，它收集的元素$u:x\mapsto \{(u(x))_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }$满足：$\|u\|_{L^{p}(l_{2}^{s})}:=\|\|\{2^{sk}u(x)_{k}\}_{k}\|_{l^{2}}\|_{L^{p}}<+\infty .$

由此我们得到如下的嵌入关系

假设$s \in \R$，我们有如下的连续嵌入

1. 当$1 < p \leqslant 2$时，成立$B_{p,p}^{s}\subset H_{p}^{s}\subset B_{p,2}^{s}.$
2. 当$2 \leqslant p < + \infty$时，成立$B_{p,2}^{s}\subset H_{p}^{s}\subset B_{p,p}^{s}.$

关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠

由 Besov 空间关于指标$s$的单调嵌入性质，我们不妨假设$s=0$，这样$H_{p}^{s}=L^{p}.$另由#共轭空间性质，我们只需考察$1 < p \leqslant 2$的情形。

1. $B_{p,p}^{0}\subset L^{p}$：任取$f\in B_{p,p}^{0}$我们有$${\begin{aligned}\|f\|_{p}&=\|\pi \circ \iota (f)\|_{p}&&{\text{cf. Theorem 7.1}}\\&\leqslant C\|\iota (f)\|_{L^{p}(l^{2})}&&{\text{cf. Theorem 7.2 }}\pi \in {\mathcal {L}}(L^{p}(l^{2}),L^{p})\\&\leqslant C\|\iota (f)\|_{L^{p}(l^{p})}&&l^{p}\subset l^{2}\\&\leqslant C\|\iota (f)\|_{l^{p}(L^{p})}&&{\text{cf. Equation (C1)}}\#{1}\\&\leqslant C\|f\|_{B_{p,p}^{0}}.&&{\text{cf. Theorem 7.1 }}\iota \in {\mathcal {L}}(B_{p,p}^{0},l^{p}(L^{p}))\end{aligned}}$$
2. $B_{p,2}^{0}\supset L^{p}$：任取$f \in L^p$，我们有$${\begin{aligned}\|f\|_{B_{p,2}^{0}}&=\|\pi \circ \iota (f)\|_{B_{p,2}^{0}}&&{\text{cf. Theorem 7.1 provided }}q=2\\&\leqslant C\|\iota (f)\|_{l^{2}(L^{p})}&&\pi \in {\mathcal {L}}(l^{2}(L^{p}),B_{p,2}^{0})\\&\leqslant C\|\iota (f)\|_{L^{p}(l^{2})}&&{\text{cf. Equation (C1)}}\#{2}\\&\leqslant C\|f\|_{p}.&&{\text{cf. Theorem 7.2 }}\iota \in {\mathcal {L}}(L^{p},L^{p}(l^{2}))\end{aligned}}$$
3. 上面使用了下面两个关于复合空间的连续嵌入：$${\begin{aligned}l^{q}(L^{p})\subset L^{p}(l^{q}),\quad 1\leqslant q\leqslant p\leqslant +\infty ,\\L^{p}(l^{q})\subset l^{q}(L^{p}),\quad 1\leqslant p\leqslant q\leqslant +\infty ,\\\end{aligned}}$$我们不妨对第一个进行证明，第二个类似。当$p = +\infty$的时候，根据和的上确界小于等于上确界的和以及得到，下面考察$p < +\infty$的情况。对任意的$\{u_{k}\}_{k}\in l^{q}(L^{p})$我们有$${\begin{aligned}\|\{u_{k}\}_{k}\|_{L^{p}(l^{q})}&=\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left(\sum _{k=0}^{\infty }|u_{k}(x)|^{q}\right)^{\frac {p}{q}}\mathrm {d} x\right)^{\frac {1}{p}}\\&=\left\|\sum _{k=0}^{\infty }|u_{k}|^{q}\right\|_{L^{\frac {p}{q}}}^{\frac {1}{q}}\\&\leqslant \left(\sum _{k=0}^{\infty }{\big \|}|u_{k}|^{q}{\big \|}_{L^{\frac {p}{q}}}\right)^{\frac {1}{q}}\\&=\left(\sum _{k=0}^{\infty }\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}|u_{k}(x)|^{p}\mathrm {d} x\right)^{\frac {q}{p}}\right)^{\frac {1}{q}}\\&=\left(\sum _{k=0}^{\infty }\|u_{k}\|_{L^{p}}^{q}\right)^{\frac {1}{q}}.\end{aligned}}$$也可使用广义 Minkowski 不等式。

当$p = 2$的时候，$B_{2,2}^{s}\cong H_{2}^{s}$，这一事实亦可由 Plancherel 定理得到。

假设$s\in \mathbb {R} ,1\leqslant p<+\infty ,1\leqslant q\leqslant +\infty$，对任意的$\varepsilon > 0$我们有连续嵌入 $$H_{p}^{s+\varepsilon }\subset B_{p,q}^{s}\subset H_{p}^{s-\varepsilon }.$$

嵌入定理

下面这个结果是 Sobolev 嵌入定理的推广。注意，由于$B_{p,q}^{s}$定义在全空间上，因此不具有紧嵌入的结论。

假设$s-s_{1}=n\left({\dfrac {1}{p}}-{\dfrac {1}{p_{1}}}\right)$，$1\leqslant p\leqslant p_{1}\leqslant +\infty$，$1\leqslant q\leqslant q_{1}\leqslant +\infty$，我们就有连续嵌入 $$B_{p,q}^{s}\subset B_{p_{1},q_{1}}^{s_{1}}.$$

关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠

我们可以证明对任意的正整数$k$有 $$\|\varphi _{k}*f\|_{p_{1}}=\|(\varphi _{k-1}+\varphi _{k}+\varphi _{k+1})*\varphi _{k}*f\|_{p_{1}}\leqslant C2^{kn\left({\frac {1}{p}}-{\frac {1}{p_{1}}}\right)}\|\varphi _{k}*f\|_{p}.$$ 实际上，我们知道$\varphi_k$（见#定义）满足： $${\begin{aligned}\|\varphi _{k}\|_{r}&=\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}|(\delta _{2^{k}}\varphi ){\check {}}(\xi )|^{r}\mathrm {d} \xi \right)^{\frac {1}{r}}\\&=\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}|(\delta _{2^{k}}\varphi ){\hat {}}(-\xi )|^{r}\mathrm {d} \xi \right)^{\frac {1}{r}}\\&=\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}|2^{-kn}{\hat {\varphi }}(2^{-k}\xi )|^{r}\mathrm {d} \xi \right)^{\frac {1}{r}}\\&=2^{-kn}\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}|{\hat {\varphi }}(\eta )|^{r}2^{nk}\mathrm {d} \eta \right)^{\frac {1}{r}}\\&=2^{kn\left(1-{\frac {1}{r}}\right)}\|{\hat {\varphi }}\|_{r}\\\end{aligned}}$$ 于是用 Young 不等式，取${\dfrac {1}{r}}+{\dfrac {1}{p_{1}}}={\dfrac {1}{p}}+1$就得到#B1。而另一方面 $$\|\psi *f\|_{p_{1}}=\|(\psi +\varphi _{1})*\psi *f\|_{p_{1}}\leqslant \|\psi +\varphi _{1}\|_{r}\|f\|_{p}.$$ 这样我们就证明了结论。

于是，当$p_{1}=q_{1}=+\infty$的时候，我们有如下嵌入 $$B_{p,q}^{s_{1}+{\frac {n}{p}}}\subset B_{\infty ,\infty }^{s_{1}}$$ 而我们知道当$0\leqslant s_{1}\leqslant 1$的时候，$B_{\infty ,\infty }^{s_{1}}$等价于 Hölder 空间$C^{s_{1}}$，这就给出了 Sobolev 嵌入定理的另一部分——Morrey 不等式。

由于$B_{p,q}^{s}$有关于$s$的单调嵌入，上述条件也可改为$s-s_{1}\leqslant n\left({\dfrac {1}{p}}-{\dfrac {1}{p_{1}}}\right).$

s极限情形

之前我们指出了$p,q$的极限情形是 Hölder 空间，下面我们给出$s$的极限空间。我们可以证明

对任意的$1\leqslant p,q\leqslant +\infty .$

$$B_{p,q}^{-\infty }=\bigcap _{s\in \mathbb {R} }B_{p,q}^{s},\quad B_{p,q}^{+\infty }=\bigcup _{s\in \mathbb {R} }B_{p,q}^{s}.$$ 且对任意的$1\leqslant q_{1},q_{2}\leqslant +\infty$我们有 $$B_{p,q_{1}}^{-\infty }=B_{p,q_{2}}^{-\infty },\quad B_{p,q_{1}}^{+\infty }=B_{p,q_{2}}^{+\infty }.$$

其它等价刻画

我们给出的定义归功于 Peetre，历史上，Besov 空间最初由 Besov 引入，在他引入这个空间时，最初的定义是：令$0 < s < 1$，定义 $$\|f\|_{B_{p,q}^{s}}=\|f\|_{p}+\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\big [}|h|^{-s}\|\Delta _{h}f\|_{p}{\big ]}^{q}{\dfrac {\mathrm {d} h}{|h|^{n}}}\right)^{\frac {1}{q}}.$$ 这在$0 < s < 1$的时候和我们给出的#定义等价。

Taibleson 也给出了一种依赖于一类椭圆型方程的初值问题的定义，即假设$0 < s < 1$以及$u(t,x)$是如下问题的解 $${\begin{cases}u_{tt}+\Delta u=0,\quad t>0,\\u=f,\quad t=0.\end{cases}}$$ 那么 $$\|f\|_{B_{p,q}^{s}}=\|f\|_{p}+\left(\int _{\mathbb {R} ^{+}}{\big [}t^{1-s}\|u_{t}\|_{p}{\big ]}^{q}{\dfrac {\mathrm {d} t}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}.$$ 这些定义的思想都暗含了 Lorentz 空间。

参考资料

1. Bergh Jöran, Löfström Jörgen, Interpolation spaces: an introduction, Springer Science & Business Media, 2012
2. Helmut Abels, Pseudodifferential and Singular Integral Operators, De Gruyter Textbook, 2012, DOI 10.1515/9783110250312.