Bernoulli 概型

Bernoulli 概型是概率论中一类重要的独立重复试验——伯努利试验的相关概率模型。

两点分布

当伯努利试验只进行一次的时候，就是两点分布，$P(A) = p, P(\overline{A}) = q = 1-p$。

二项分布

设在$n$重伯努利试验中$P(A) = p, P(\overline{A}) = q = 1-p$，那么事件$A$发生$k$次（$0 \leqslant k \leqslant n$）的概率是 $$b(k; n, p) = \dbinom{n}{k} p^k q^{n-k},$$ 容易验证它满足规范化条件 $$\sum_{k=0}^n b(k; n, p) = \sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k} p^k q^{n-k} = (p+q)^n = 1.$$

几何分布

在伯努利试验中首次成功出现在第$k$次试验的概率 $$g(k; p) = q^{k-1} p,$$ 它也满足规范化条件 $$\sum_{k=1}^\infty g(k; p) = \sum_{k=1}^\infty q^{k-1} p = \dfrac{p}{1-q} = 1.$$ 由于规范化求和时使用了几何级数而得名。

Pascal 分布

预先给定正整数$r$，在伯努利试验中第$r$成功出现在第$k$次试验的概率 $$f(k; r, p) = \dbinom{k-1}{r-1} p^{r} q^{k-r},$$ 它也满足规范化条件 $$\sum_{k=r}^\infty f(k; r, p) = \sum_{k=r}^\infty \dbinom{k-1}{r-1} p^r q^{k-r} = 1.$$

上下节

• 上一节：独立重复试验
• 下一节：离散型随机变量

参考资料

1. 李贤平, 《概率论基础（第3版）》, 高等教育出版社, 北京, 2010-04, ISBN 978-7-0402-8890-2.