Bernoulli 方程

在常微分方程中，Bernoulli 方程是指下述形式的方程

$$y' = f(x) y + g(x) y^\alpha$$

他可以经过变量代换的方法转换为一阶线性微分方程，进而求解。

解法

做变量代换$u = y^{1-\alpha}$，那么

$$\begin{align} u' & = (1 - \alpha) y^{-\alpha} y' \\ & = (1-\alpha) f(x) u + g(x). \end{align}$$

即转化为一阶线性微分方程。

例子

例如

$$xy' - y^2 \ln x + y = 0.$$

这是$\alpha = 2$的 Bernoulli 方程，做变量代换$u = \dfrac{1}{y}$，于是有

$$u' = - \dfrac{1}{y^2} y' = \dfrac{1}{x} u - \dfrac{\ln x}{x}$$

先解齐次方程

$$u' = \dfrac{1}{x} u$$

得到

$$u = C x.$$

做常数变易，用$C(x)$代替$C$，得到

$$u' = C(x) + xC'(x) = \dfrac{1}{x} u - \dfrac{\ln x}{x}$$

解出

$$C(x) = - \int \dfrac{\ln x}{x^2}\mathrm{d}x = \dfrac{\ln x + 1}{x} + C_0$$

于是，原方程的解为

$$\dfrac{1}{y} = 1 + \ln x + C_0 x.$$

上下节

• 上一节：一阶线性微分方程
• 下一节：一阶齐次微分方程

参考资料

1. 王高雄, 周之铭, 朱思铭, 王寿松, 《常微分方程（第三版）》, 高等教育出版社, 北京, 1978-12, ISBN 978-7-0401-9366-4.