Bernoulli 数

在分析中，Bernoulli 数（伯努利数）是一列在研究等幂求和问题中引出的数，它在正切等相关级数展开中反复出现。

定义

通常的定义是采用母函数法，将如下函数 $f(x) = \begin{cases} \dfrac{x}{\text{e}^x-1}, & x \ne 0, \\ 1, & x = 0. \end{cases}$ 作级数展开，易知如上定义的函数在实轴上光滑，因此定义 $f(x) = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{B_n}{n!} x^n.$

由于$f(x) \cdot \dfrac{\text{e}^x-1}{x} = 1.$于是使用待定系数法，利用级数的柯西乘积，

$$\left( \sum_{n=0}^\infty \dfrac{B_n}{n!} x^n \right) \cdot \left( \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n!} x^{n-1} \right) = 1.$$

因此有递推式

$$\sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k} B_k = 0, B_0 = 1.$$

可以计算出前几项

$$B_0 = 1, B_1 = -\dfrac{1}{2}, B_2 = \dfrac{1}{6}, B_4 = - \dfrac{1}{30}, B_6 = \dfrac{1}{42}, B_8 = -\dfrac{1}{30}\cdots$$

有规律$\forall k \in \N^+, B_{2k+1} = 0, B_{4k} < 0, B_{4k-2} > 0.$

等幂求和

对于有限项的正整数幂的求和问题，Bernoulli 已发现如下公式

$$\sum_{k=1}^n k^p = \dfrac{1}{p+1} n^{p+1} + \dfrac{1}{2} n^p + \dfrac{p B_{2}}{2!} n^{p-1} + \dfrac{p(p-1)(p-2)B_{4}}{4!} n^{p-3} + \cdots$$

直到$n$的平方项或一次项为止。

而在上述幂次为负数时的无穷等幂求和问题则和 Riemann ζ 函数相关，即如下无穷级数的和的收敛性与值：

$$\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^s}.$$

上述级数在$s \in (1, +\infty)$上收敛，且对于偶数的$s = 2k, k \in \N^+$，有计算公式

$$\zeta(2k) = \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^{2k}} = (-1)^{k-1} \dfrac{B_{2k}}{2} \cdot \dfrac{(2\pi)^{2k}}{(2k)!}.$$

因此有

$$\zeta(2) = \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^{2}} = \dfrac{\pi^2}{6}, \quad \zeta(4) = \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^4} = \dfrac{\pi^4}{90}.$$

级数展开

利用 Bernoulli 数的母函数，可以方便地计算下述函数的泰勒展开：

1. $x \cot x = 1 + \sum^{\infty}_{n=1} \frac{(-1)^n B_{2n} 4^n}{(2n)!} x^{2n} = 1 - \frac{x^2}{3} - \frac{x^4}{45} - \dfrac{2x^6}{945} - \cdots, \forall x:|x| < \pi.$
2. $x \coth x = 1 + \sum^{\infty}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n}{(2n)!} x^{2n} = 1 + \frac{x^2}{3} - \frac{x^4}{45} + \dfrac{2x^6}{945} + \cdots, \forall x:|x| < \pi.$
3. $\tan x = \sum^{\infty}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n \left(1-4^n\right)}{(2n)!} x^{2n-1} = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \cdots, \forall x:|x| < \frac{\pi}{2}.$
4. $\tanh x = \sum_{n=1}^\infty \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} - \cdots, \forall x:|x| < \dfrac{\pi}{2}.$
5. $x \csc x = 1 + \sum^{\infty}_{n=1} \frac{(-1)^{n-1} B_{2n} (4^n - 2)}{(2n)!} x^{2n} = 1 + \frac{x^2}{6} + \frac{7x^4}{360} + \cdots, \forall x:|x| < \pi.$
6. $\ln \cos x = - \sum^{\infty}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n \left(1-4^n\right)}{2n \cdot (2n)!} x^{2n} = - \dfrac{x^2}{2} - \frac{x^4}{12} - \frac{x^6}{45} - \cdots, \forall x:|x| < \frac{\pi}{2}.$
7. $\ln \left( \dfrac{\sin x}{x} \right) = \sum^{\infty}_{n=1} \frac{(-1)^n B_{2n} 4^n}{2n \cdot (2n)!} x^{2n} = - \dfrac{x^2}{6} - \frac{x^4}{180} - \frac{x^6}{2835} - \cdots, \forall x:|x| < \pi.$
8. $\ln \left( \dfrac{\tan x}{x} \right) = \sum^{\infty}_{n=1} \frac{(-1)^{n-1} B_{2n} 4^n (4^n-2)}{2n \cdot (2n)!} x^{2n} = \dfrac{x^2}{3} + \frac{7x^4}{90} + \cdots, \forall x:|x| < \pi.$

以上的展开中，在原点没有定义的，补充极限定义，其中第一、二和五个可以经过适当处理，得到对应（双曲）三角函数的洛朗展式。