Bernoulli 多项式

Bernoulli 多项式是一类特殊的多项式序列，它在一些特殊函数的研究中应用广泛。Bernoulli 数是其在原点处的函数值。

概念

我们可以借助母函数来定义 Bernoulli 多项式，设有函数的含参级数展开 $$\varphi(x, t) = \dfrac{t\text{e}^{xt}}{\text{e}^t - 1} = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{B_n(x)}{n!} t^n.$$ 上述级数在$|t| < 2\pi$的开圆盘中收敛，由此确定的多项式$B_n (x), n = 0,1,2,\cdots$称为Bernoulli 多项式。特别地，当$x = 0$时就是 Bernoulli 数$B_n (0) = B_n.$

递推公式

Bernoulli 多项式的递推公式为 $$B_n (x) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} B_k x^{n-k}, B_0 = 1, n = 1,2,\cdots.$$ 为方便可以对比二项展开简记为 $$B_n(x) = (B + x)^n, B^k := B_k.$$ 前六个 Bernoulli 多项式是 $$\begin{align} B_0(x) & = 1, \\ B_1(x) & = x - \dfrac{1}{2}, \\ B_2(x) & = x^2 - x + \dfrac{1}{6}, \\ B_3(x) & = x^3 - \dfrac{3}{2} x^2 + \dfrac{1}{2}x, \\ B_4(x) & = x^4 - 2x^3 +x^2 - \dfrac{1}{30}, \\ B_5(x) & = x^5 - \dfrac{5}{2} x^4 + \dfrac{5}{3}x^3 - \dfrac{1}{6}x. \end{align}$$

性质

使用母函数定义可以方便地证明如下性质：

1. 差分公式：$\begin{align} B_0(x+1) & = B_0(x), \\ B_1(x+1) & = B_1(x) + 1, \\ B_n(x+1) & = B_n(x) + nx^{n-1}, n \geqslant 2. \end{align}$
2. 余元公式：$B_n(1-x) = (-1)^n B_n(x).$
3. 加法公式：$B_n(x+y) = \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} B_n(x) y^{n-k}.$
4. 导数：$B'_n(x) = n B_{n-1}(x), n > 0; B_n^{(p)} (x) = \dfrac{n!}{(n-p)!} B_{n-p}(x), p \leqslant n.$
5. 定积分：$\int_a^x B_n(y) \mathrm{d}y = \dfrac{B_{n+1} (x) - B_{n+1} (a)}{n+1}, \forall a \in \R.$

等幂求和

由 Bernoulli 多项式的差分公式可以得到 $$B_{p+1}(k+1) - B_{p+1}(k) = (p+1) k^p.$$ 当$k$遍历$\{0,1,2,\cdots,m\}$时上式求和就变为 $$\sum_{k=1}^m k^p = \dfrac{B_{p+1} (m+1) - B_{p+1}}{p+1}.$$ 这一结果由 Bernoulli 发现，继续写下去就是 $$\sum_{k=1}^m k^p = \dfrac{1}{p+1} m^{p+1} + \dfrac{1}{2} m^p + \dfrac{p B_{2}}{2!} m^{p-1} + \dfrac{p(p-1)(p-2)B_{4}}{4!} m^{p-3} + \cdots$$ 直到$m$的平方项或一次项为止。

参考资料

1. 王竹溪, 郭敦仁, 《特殊函数概论》, 北京大学出版社, 北京, 2000-05, ISBN 978-7-3010-4530-5.