Bernoulli 不等式

Bernoulli 不等式（伯努利不等式）是一个数学中常用的初等不等式，它是说：

已知$n \in \mathbb{N^{+}}$，则有

$$(1+x)^n \geqslant 1 + nx \quad \forall x \geqslant -2.$$

当且仅当$x = 0$取等号。

推广

1. 令$x = \dfrac{b}{a}$，其中$a > 0, a+b > 0$，则可将上述不等式推广为
   $$(a+b)^n \geqslant a^n + n a^{n-1} b.$$
   当且仅当 $b=0$取等号。
2. 当$x \geqslant 0$时成立
   $$(1+x)^n \geqslant \dfrac{n(n-1)}{2}x^2.$$
3. 若$a_i \geqslant -1, i = 1,2,\cdots,n$且同号，则有
   $$\prod_{i=1}^n (1+a_i) \geqslant 1 + \sum_{i=1}^n a_i.$$
   当且仅当$a_i$均相等时取等号。

非自然数指数情形

假设$x > -1, \alpha \in \R, \alpha \ne 0$，那么

$$\begin{cases} (1 + x)^\alpha \geqslant 1 + \alpha x, & \alpha \in (-\infty, 0) \cup [1, +\infty), \\ (1 + x)^\alpha \leqslant 1 + \alpha x, & \alpha \in (0, 1), \\ \end{cases}$$

当且仅当$x = 0$时取等号。

因此我们有：在$y \geqslant x > 0$时成立

$$(1+x)^y > (1+y)^x.$$

当且仅当$x = y$时取等号。