Banach 空间

Banach 空间（Banach space，巴拿赫空间）是一类数学中十分常用的函数空间。

概念

完备的赋范线性空间是 Banach 空间。

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1. Hilbert 空间是 Banach 空间，如果 Banach 空间中的范数可以诱导内积（既满足平行四边形法则），那么该空间就是 Hilbert 空间。
2. Euclid 空间是 Banach 空间。有限维 Hilbert 空间和 Euclid 空间同构。
3. Lp 空间是 Banach 空间。
4. Sobolev 空间是 Banach 空间。

线性算子

参见线性算子。

线性算子是许多线性运算的推广。线性空间中的线性算子定义为：假设$X, Y$是线性空间，$D$是$X$的线性子空间，并假设$T: D \to Y$是一个映射，如果$T$满足

$$T(\alpha x + \beta y) = \alpha Tx + \beta Ty, \quad \forall \alpha, \beta \in \mathbb{K}, \forall x, y \in X.$$

我们就称$T$是线性算子。

取值于数域上的线性算子称为线性泛函，例如当$Y = \R \text{ or } \C$分别为实或复线性泛函。赋范线性空间中，线性算子的；连续性和有界性是等价的。

算子范数

参见线性算子#算子空间。

算子范数是有限维线性空间中矩阵范数的推广。用记号$\mathcal{L}(X, Y)$表示由$X$到$Y$的有界线性算子的全体，引入算子范数

$$\| T \| := \sup_{x \in X - \{ \theta \}} \dfrac{\| Tx \|}{\| x \|}.$$

特别地，如果$X, Y$是赋范线性空间，而$Y$是完备的，规定$\mathcal{L}(X, Y)$上的线性运算

$$(\alpha T_1 + \beta T_2) (x) = \alpha T_1(x) + \beta T_2(x), \forall x \in X.$$

那么$(\mathcal{L}(X, Y), \| \cdot \|)$是 Banach 空间。

$\mathcal{L}(X, X)$也可简写为$\mathcal{L}(X)$或另记为$X^*$，被称为对偶空间或共轭空间。

开映射定理

参见开映射定理。

（逆算子定理）假设$X, Y$是 Banach 空间，$T: X \to Y$是可逆的连续线性算子，那么$T^{-1}$也是连续线性算子。

（开映射定理）一般地，如果仅假设$T$是连续的满线性算子，那么$T$将开集映为开集，即$f$是开映射。

上述定理中可以将连续性弱化为闭性。

从另一个角度来看，

开映射定理的结论等价于存在一个常数$c > 0$使得$T(B_X(0, 1)) \supset B_Y(0, c).$

关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠

必要性显然，我们来说明充分性，假设$U$是$X$中的开集，对任意固定的一个点$y_0 \in T(U)$，我们要证明存在开球$B(x_0, r) \subset T(U)$，显然存在$x_0 \in U$使得$y_0 = Tx_0$，取$x_0$在$U$中的一个开球$B(x_0, s)$，我们有

$$T(B(x_0, s)) = T(x_0 + sB(0, 1)) = y_0 + sT(B(0, 1)) \supset y_0 + sB(0, c) = B(y_0, sc).$$

令$r = sc$即得结论。

我们指出开映射定理蕴含逆算子定理，这样我们只需证明开映射定理即可。

假设$X, Y$是 Banach 空间，$T: X \to Y$是既单又满的连续线性算子，那么$T^{-1}$也是连续线性算子。

关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠

由#推论3，如果对$x \in X$成立$\| Tx \| < c$，那么$\| x \| < 1$，于是

$$\| x \| \leqslant c^{-1} \| Tx \|.$$

由于$T$是双射，那么对任意$y \in Y$存在唯一的$x = T^{-1}y$，这样

$$\| T^{-1} \| = \sup_{y \in Y} \dfrac{\| T^{-1} y \|}{\| y \|} = \sup_{x \in X} \dfrac{\| x \|}{\| Tx \|} \leqslant \dfrac{1}{c}.$$

闭图像定理

参见闭图像定理。

假设$X, Y$是赋范线性空间，$A: D(A) \subset X \to Y$是一个线性算子，如果对任意定义域$D(A)$中的点列$\{ x_n \}$，由$\lim_{n \to \infty} x_n = x$以及$\lim_{n \to \infty} Ax_n = y$可以得到$x \in D(A), y = Ax.$

对闭算子来说，开映射定理依然成立。连续性和闭性之间的关系由闭图像定理保证。 假设$X$是赋范线性空间，$Y$是 Banach 空间，线性算子$T: X \to Y$是连续的，那么存在连续线性算子$T_1 : \overline{D(T)} \to Y$使得$T_1|_{D(T)} = T, \| T_1 \| = \| T \|.$这表明，连续线性算子可以做延拓，且它在定义域的闭包中是闭的。但是一般来说闭线性算子不一定是连续的，但是有如下的闭图像定理。

一致有界定理

参见共鸣定理。

假设$X$是 Banach 空间，$Y$是赋范线性空间，$W = \{ T_\lambda: X \to Y| \lambda \in \varLambda \}$是一组连续线性算子，如果它满足

$$\sup_{T \in W} \| Tx \| < + \infty, \quad \forall x \in X.$$

那么$W$是一致有界的，即存在正常数$M > 0$满足$\| T \| \leqslant M, \forall T \in W.$

这件事情的逆否命题是说如果$\sup_{T \in W} \| T \| = +\infty$，那么存在$x_0 \in X$使得

$$\sup_{T \in W} \| Tx_0 \| = + \infty.$$

因此形象地称为共鸣定理。

这个定理的结论相当让人振奋，它给出了一个“点态收敛可以导出全局一致收敛”的结果。

Hahn-Banach 定理

参见 Hahn-Banach 定理。

在赋范线性空间中，Banach 空间有更好的性质：假设$X$是赋范线性空间，$X_0$是$X$的子空间，$f_0$是$X_0$上的有界线性泛函，则在$X$上存在有界线性泛函$f$满足：

1. 保范条件：$\|f\| = \| f_0 \|_0.$
2. 延拓条件：$\forall x \in X_0, f(x) = f_0(x).$

一般我们称$f$是$f_0$的保范延拓。 凸集分离定理是该定理的几何形式。

参考资料

1. 张恭庆, 林源渠, 《泛函分析讲义（上册）（第二版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-01, ISBN 978-7-3013-0964-3.