Banach-Steinhaus 定理

Banach-Steinhaus 定理是线性泛函分析中的一个定理，和共鸣定理有关，它表明 Banach 空间间的一个线性算子序列如果在一个稠密子集上收敛那么可以得出这个序列在全空间上收敛，只要这个序列在全空间上一致有界。这个定理可以告诉我们依靠连续性建立的拓扑性质，在 Baanch 空间上成立当且仅当它在一个稠密子集上成立。

有的资料中将共鸣定理（或称一致有界原理）当作 Banach-Steinhaus 定理，而把下述定理作为其推论，这里我们把二者分开来介绍。

内容

假设$X$是 Banach 空间，$Y$是赋范线性空间，$X$的一个子集$M$在$X$中稠密，另设有一列连续线性算子$T_n: X \to Y, n = 1,2,\cdots$，那么 $$\exists T\in {\mathcal {L}}(X,Y),\lim _{n\to \infty }T_{n}x=Tx,\forall x\in X$$ 成立当且仅当$\| T_n \|$一致有界且式#A1对任意的$x\in M$成立。

并且在上面的结论成立的前提下我们有算子范数的（*弱）下半连续性： $$\| T \| \leqslant \liminf_{n \to \infty} \| T_n \|.$$

证明

必要性由共鸣定理可得，下证充分性：假设$\| T_n \| \leqslant C.$则$\forall x \in X, \forall \varepsilon > 0$取$y \in M$使得 $$\| x - y \| \leqslant \dfrac{\varepsilon}{2(\| T \| + C)}.$$ 并由$T_n \to T$在$M$上可得存在$N \in \N$，当$n > N$时 $$\| T_n y - T y \| \leqslant \dfrac{\varepsilon}{2}.$$ 于是用插项的方法 $$\begin{align} \| T_n x - T x \| & \leqslant \| T_n x - T_n y \| + \| T_n y - T y \| + \| T y - T x \| \\ & \leqslant (\| T_n \| + \| T \|) \| x - y \| + \dfrac{\varepsilon}{2} \\ & \leqslant \varepsilon. \end{align}$$ 因此证明了结论。

推论

1. 假设赋范线性空间$X$中有一点列$\{ x_n \}$，它弱收敛到$x_0 \in X$当且仅当
   1. $\{\|x_{n}\|\}$有界，
   2. 对一个稠密子集$M^* \subset X^*$恒有$\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x), \forall f \in M^*.$
2. 假设 Banach 空间$X$的对偶空间$X^*$中有一点列$\{ f_n \}$，它*弱收敛到$f \in X^*$当且仅当
   1. $\{\|f_{n}\|\}$有界，
   2. 对一个稠密子集$M \subset X$恒有$\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x), \forall x \in M.$

第一个推论仅需注意到$x_n$可以视作$X^*$上的线性泛函即可。

注意上述等价性中，有界性的条件不能去掉，去掉有界性会得到不同的类似弱收敛的收敛性定义方式，例如在无穷远处消失的连续函数空间$C_0(\R^n)$和具有紧支集的连续函数空间$C_c(\R^n)$中，参见连续函数空间。

参考资料

1. 张恭庆, 林源渠, 《泛函分析讲义（上册）（第二版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-01, ISBN 978-7-3013-0964-3.