Banach-Alaoglu 定理

Banach-Alaoglu 定理是赋范线性空间中有关*弱收敛和*弱列紧性关系的一个定理，弱收敛以及*弱收敛的概念可以追溯至从有限维空间向无穷维函数空间（特别是内积空间）推广某些性质时的“依坐标收敛”，有限维空间中依坐标收敛的有界点列有收敛子列（Bolzano-Weierstrass 定理），在可分的 Hilbert 空间中，运用和 Bolzano-Weierstrass 定理类似的对角线证法可得有界点列有“依坐标收敛”（也就是弱收敛）的子列，这就是 Banach-Alaoglu 定理。

内容

我们不拘泥于内积空间而在一般的赋范线性空间中建立这样的结论：

假设赋范线性空间$X$可分，$X^*$是它的共轭空间，$\{ f_n \} \subset X^*$是模有界的连续线性泛函，即$\sup_n \| f_n \|_{X^*} = M < +\infty$，那么$\{ f_n \}$有一个*弱收敛的子列。

这说明了$X^*$中的有界集是*弱序列紧集，实际上这个空间中的有界集还是*弱紧集（注意$X^*$上的*弱拓扑未必是第一可数的，紧性和序列紧性一般而言可能互不蕴含），详见 Banach-Alaoglu-Bourbaki 定理，但是证明也会更复杂，需要涉及到*弱拓扑的结构。这个定理在我们使用*弱拓扑分析相关问题时十分重要且基本，它的一个重要应用是给出变分的极小值的充分刻画，我们在推论中介绍。

证明

运用对角线证法，由于$X$可分，存在一个可数稠密集合$\{ x_k \}_{k=1}^\infty.$

• 对于$x_1$而言，$\langle f_n, x_1 \rangle$是绝对值有界的实数列，由实数的列紧性可得存在子列$\{ \langle f_{n_j^1}, x_1 \rangle \}$收敛。
• 对于$x_2$而言，$\langle f_{n_j^1}, x_2 \rangle$是绝对值有界的实数列，由实数的列紧性可得存在子列$\{ \langle f_{n_j^2}, x_2 \rangle \}$收敛。
• ……
• 对于$x_k$而言，$\langle f_{n_j^{k-1}}, x_k \rangle$是绝对值有界的实数列，由实数的列紧性可得存在子列$\{ \langle f_{n_j^k}, x_k \rangle \}$收敛。
• ……

于是抽取$\{ f_n \}$的对角线子序列$\{ f_{n_j^j} \}_{j=1}^\infty$，对任意的$k=1,2,\cdots$都有$\{ \langle f_{n_j^j}, x_k \rangle \}$收敛。

注意到$\{ x_k \}$稠密，$\{ f_n \}$模有界，那么对任意的$x \in X$，由 $$|\langle f_{n_j^j}, x \rangle| \leqslant |\langle f_{n_j^j}, x_k \rangle| + |\langle f_{n_j^j}, x - x_k \rangle| \leqslant |\langle f_{n_j^j}, x_k \rangle| + M \| x - x_k \|$$ 得$\{ \langle f_{n_j^j}, x \rangle \}$收敛。现在我们只需要证明收敛的极限在$X^*$中即可。定义 $$f(x) := \lim_{j \to \infty} \langle f_{n_j^j}, x \rangle$$ 显然由极限的线性性可知$f$是线性的，注意到 $$|f(x)| \leqslant \sup_{j \in \N} \| f_{n_j^j} \| \| x \| \leqslant M \| x \|.$$ 因此$f \in X^*$，这就证明了定理。

推论

自反空间中的弱收敛

假设$X$是自反的，那么弱收敛和*弱收敛一致，特别地，在 Hilbert 空间中，线性泛函可以有表示（Riesz 表示定理），因此，Hilbert 空间中任意有界序列必有弱收敛的子列。

实际上，在自反的 Banach 空间中，任意有界序列也就有弱收敛的子列（Eberlein-Schmulyan 定理）。

变分中的极小值

假设$X$是一个可分 Banach 空间的共轭空间，非空集合$E \subset X$是*弱序列闭的，如果$f: E \to \R^1$是序列*弱下半连续的，且满足如下强制性条件：

$|f(x)| \to +\infty, \text{ when } \| x \| \to +\infty.$

那么$f$在$E$上有极小值。

这个推论中给出了一个强制性的条件，它可以减弱，但是在变分学中研究一个积分泛函时，强制性虽然很难达到，它确实是一个非常粗糙的增长估计，可是我们往往很难对其做出更精细的估计来表明其在无穷远处的行为，在这时我们为了简化问题往往限制一个很粗的增长条件来使得强制性达到。

证明

取$\{ x_n \} \subset E$使得$\lim f(x_n) = \inf_{x \in E} f(x).$由实数极限的有界性可知在$n$充分大时，$f(x_n)$有界，由强制性可推出$x_n$模有界，根据 Banach-Alaoglu 定理可知$\{ x_n \}$存在*弱收敛的子列$\{x_{n_k}\}$使其*弱收敛到$x_0 \in X$，由于$E$是*弱序列闭的，$x_0 \in X$。

由于$f$是序列*弱下半连续的， $$f(x_0) \leqslant \liminf_{k \to \infty} f(x_{n_k}).$$ 即$f(x_0) = \inf_{x \in E} f(x).$

参考资料

1. Haïm Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer Science&Business Media, 2010-11, ISBN 978-0-3877-0913-0.
2. 张恭庆, 《变分学讲义》, 高等教育出版社, 北京, 2011-06, ISBN 978-7-0403-1958-3.