Baire 定理

Baire 定理又称 Baire 纲定理是度量空间中的一个定理。

内容

假设$X$是完备度量空间，$\{ X_n \}$是$X$的一列没有内点闭子集，即$\text{Int} X_n = \varnothing$，那么它们的并集也没有内点，即$\text{Int} \bigcup_{n = 1}^\infty X_n = \varnothing.$

例如在 Euclid 空间$\R^n$中的可列个无内点的闭集之并也无内点。

这个定理最常用的是逆否命题：如果一个非空完备度量空间中，假设闭集列$X_n$满足$X=\bigcup _{n=0}^{\infty }X_{n}$，那么必定存在一些有内点的闭集$X_{n_0}$。

证明

令$O_n = X \setminus X_n$，那么每个$O_n$在$X$中稠密，我们要证明$O = \bigcap_{n=1}^\infty O_n$在$X$中稠密，令$\omega$是$X$中的非空开集，我们只需证明$\omega \cap O_n \ne \varnothing$即可。

由$\omega$是开集的假设，任取$x_0 \in \omega$存在它的一个开球$B(x_0, r_0)$使得

$$\overline{B(x_0, r_0)} \subset \omega$$

，我们取$x_1 \in B(x_0, r_0) \cap O_1$以及$r_1 \in (0, r_0/2)$使得

$$\overline{B(x_1, r_1)} \subset B(x_0, r_0) \subset \omega$$

这是可以办得到的因为$O_1$是稠密的开集。这样一直进行下去我们得到一串序列$\{ x_n \} \subset \omega$，它是 Cauchy 序列，由空间的完备性可得他是收敛到一个点$x_0$的，并且我们知道对任意$n \in \N$都有$x \in \overline{B(x_n, r_n)}$，这就表明$x_0 \in \omega \cap G.$

拓扑线性空间

这个定理可以推广到一般的拓扑线性空间中去：

如果一个第一可数的非空完备拓扑线性空间中，假设闭集列$X_n$满足$X = \bigcup_{n=1}^\infty X_n$，那么必定存在一些有内点的闭集$X_{n_0}$，进而非空完备拓扑线性空间是第二纲的。

证明也是类似的，只是要把上面证明中的球换成邻域基：我们不妨假设取局部基$\{W_{n}\}$满足：$W_{n+1}+W_{n+1}\subset W_{n}$，反证，假设每个$X_n$都没有内点，

1. 首先由于$X_{1}\neq L$这就表明$X\setminus X_{1}$是非空的开集，所以存在$x_{1}\in X$以及自然数$n_1$使得$(x_{1}+W_{n_{1}})\cap X_{1}=\varnothing$，由于$W_{n+1}+W_{n+1}\subset W_{n}$，这就表明${\overline {W_{n+1}}}\subset W_{n}$，于是$(x_{1}+{\overline {W_{n_{1}+1}}})\cap X_{1}=\varnothing$。
2. 其次，由于$X_2$没有内点，这就表明$x_{1}+{\overline {W_{n_{1}+1}}}$不全在$X_2$中，于是存在$x_2$及$n_2$使得$x_{2}+{\overline {W_{n_{2}+1}}}\subset x_{1}+W_{n_{1}+1}$且$x_{2}+W_{n_{2}}\cap X_{2}=\varnothing$，这就说明$x_{2}+{\overline {W_{n_{2}+1}}}\cap X_{2}=\varnothing$，由于$\{W_{n}\}$嵌套递减，我们可以让$n_{2}>n_{1}$。
3. 这样，像第二步一样一直进行下去，我们就得到一列$\{ x_k \}$满足：
   1. $x_{k}+{\overline {W_{n_{k}+1}}}\cap X_{k}=\varnothing$。
   2. $x_{k}+{\overline {W_{n_{k}+1}}}\subset x_{k-1}+W_{n_{k-1}+1}$。
   3. $\{n_{k}\}$单调递增。

于是$\{ x_k \}$满足：对任意的$k,l\in \mathbb {N} ^{+},l>k$都有$x_{k}-x_{l}\in W_{{n_{k}}+1}$，这就说明$\{ x_k \}$是 Cauchy 列，根据$X$的完备性可知存在$x \in X$使得$\{ x_k \}$收敛到$x$。根据上面的条件，$y\in x_{k}+{\overline {W_{n_{k}+1}}}$，这样$y\notin X_{k}$对任意$k \in \N^+$都成立，这样就到处了矛盾：$X\neq \bigcup _{k\geqslant 1}X_{k}$。