Arzela-Ascoli 定理

Arzela-Ascoli 定理是分析中的一个著名定理，它给出了连续函数空间上的紧性的一种等价刻画，常用于利用性质好的函数逼近性质不好的函数以证明某些命题的方法中。

等度连续

设$F$是一个紧空间$(M, \rho)$上的连续函数空间$C(M)$的子集，称它是等度连续的集合，是指$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0$使得 $$|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon, \quad \forall f \in F, \forall x_1, x_2 \in M, \text{ when } \rho(x_1, x_2) < \delta.$$ 等度连续的概念是对一族一致连续的函数的一致性刻画，一致连续定义中的$\delta$依赖于具体所给的函数以及$\varepsilon$，而一组等度连续的函数定义中的$\delta$仅依赖于$\varepsilon.$

称$F$是一致有界的，是指存在正常数$M$使得$|f(x)| < M, \forall f \in F, \forall x \in M.$

内容

设$M$是度量空间中的一个紧集，$(C(M), d)$是$M \to \R$的全体连续函数组成的连续函数空间。则$F \subset C(M)$是列紧集当且仅当$F$是一致有界且等度连续的函数族。

它指出：一致有界和等度连续的函数族，在连续函数空间中存在一致收敛的子列，使其收敛到一个连续函数。

证明

注意到$C(M)$是完备的连续函数空间，因此由列紧空间中的性质，仅需说明$F$是完全有界集当且仅当$F$是一致有界且等度连续的函数族。

必要性

首先$F$是完全有界集可以得到它是有界集，从而是一致有界的。其次我们来证明它是等度连续的。由完全有界性的定义，任取$\varepsilon > 0$，存在有限的$\dfrac{\varepsilon}{3}$网$N = \{ f_i \}_{i=1}^m$使得$\forall f \in F$，存在$f_i \in N$使得 $$d(f, f_i) < \dfrac{\varepsilon}{3}.$$ 另一方面，$N \subset F$，因此$f_i$是连续函数，紧集上的连续函数还是一致连续的，故对每个函数$f_i$来说，对于上述$\varepsilon > 0$存在$\delta_i > 0$使得 $$|f_i(x_1) - f_i(x_2)| < \dfrac{\varepsilon}{3}.$$ 取$\delta = \min_{1 \leqslant i \leqslant m} \delta_i$，于是当$\rho(x_1, x_2) < \delta$时 $$\begin{align} |f(x_1) - f(x_2)| & \leqslant |f(x_1) - f_i(x_1)| + |f_i(x_1) - f_i(x_2)| + |f_i(x_2) - f(x_2)| \\ & \leqslant 2d(f, f_i) + \dfrac{\varepsilon}{3} \leqslant \varepsilon. \end{align}$$ 证毕。

充分性

假设$F$是一致有界且等度连续的，我们要证明它是完全有界的，即对任意的$\varepsilon > 0$，我们要寻找一个$\varepsilon$网$N.$

因为$M$是紧集，故存在$M$的有限$\delta$网$\{ x_i \}_{i=1}^m.$构造一个映射 $$\begin{align} \mathcal{T}: F & \to \R^m, \\ f & \mapsto (f(x_1),f(x_2),\cdots,f(x_m)). \end{align}$$ $\mathcal{T}$的象集$R(\mathcal{T}) \subset \R^m$为有界集，记作$\tilde{F}$，有限维空间中的有界集是列紧集，从而是完全有界集，因此存在$\dfrac{\varepsilon}{3}$网使得$\tilde{F} \subset \bigcup_{i=1}^m B(\mathcal{T}f_i, \varepsilon/3).$
下面就证明$\{ f_i \}_{i=1}^m$就是$F$的有限$\varepsilon$网。$\forall f \in F, x \in M,$选择$x_0 \in M$使得$\rho(x, x_0) < \delta$那么 $$\begin{align} |f(x) - f_i(x)| & \leqslant |f(x) - f(x_0)| + |f(x_0) - f_i(x_0)| + |f_i(x_0) - f_i(x)| \\ & \leqslant \dfrac{2}{3} \varepsilon + |\mathcal{T}f - \mathcal{T}f_i| \leqslant \varepsilon. \end{align}$$ 证毕。

参考资料

1. 张恭庆, 林源渠, 《泛函分析讲义（上册）（第二版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-01, ISBN 978-7-3013-0964-3.