Archimedes 螺线

几何中的阿基米德螺线（Archimedes spiral）是一种常见的螺线，设常数$a>0$，那么极坐标方程 $$r = a\theta, \theta \geqslant 0$$ 就表示一条阿基米德螺线，它是最简单的一种螺线。

直角坐标下的参数表示为 $$\begin{cases} x = a \theta \cos \theta, \\ y = a \theta \sin \theta. \end{cases}$$ 上述参数$\theta$恰好选择的就是极角。图象是

参数导数（即某一参数$\theta$所对的点处切线斜率）为 $$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \dfrac{\sin \theta + \theta \cos \theta}{\cos \theta - \theta \sin \theta}.$$

物理背景

阿基米德螺线的物理背景是：一动点$P$以恒定速度$v$沿一射线作匀速直线运动，而该射线以点$O$作角速度为$\omega$的匀速圆周运动，此时动点$P$的轨迹恰好就是阿基米德螺线，$a = \dfrac{v}{\omega}$。

性质

阿基米德螺线的第一圈与初始线所围成的面积$S$等于第一个圆面积$\pi (2\pi a)^2$的三分之一，即$S = \dfrac{4}{3} \pi^3 a^2.$