*弱拓扑

*弱拓扑（weak* topology）是一个赋范线性空间的共轭空间中比范数拓扑和弱拓扑条件更弱的拓扑，是保持赋范线性空间的元素的第二共轭空间象的连续性的最弱拓扑。有关拓扑上弱收敛性的定义以及弱拓扑的构造参见弱收敛和弱拓扑。

弱收敛以及*弱收敛的概念可以追溯至从有限维空间向无穷维函数空间（特别是内积空间）推广某些性质时的“依坐标收敛”，有限维空间中依坐标收敛的有界点列有收敛子列（Bolzano-Weierstrass 定理），在可分的 Hilbert 空间中，运用和 Bolzano-Weierstrass 定理类似的对角线证法可得有界点列有“依坐标收敛”（也就是弱收敛）的子列（Banach-Alaoglu 定理）。

我们之所以要定义一个比一个粗的拓扑，是为了找到一个子集的紧性，直观上来想更粗的拓扑包含更少的开集，因而一个集合的开覆盖更容易找到有限的子覆盖，对集合紧性的条件就会更放松，特别是 Banach-Alaoglu-Bourbaki 定理指出任意一个赋范线性空间中的闭凸集都是*弱紧的。

概念

假设有赋范线性空间$X$的共轭空间$X^*$，并有连续线性泛函序列$\{ f_n \}_{n=1}^\infty \subset X^*$，我们称$\{ f_n \}$*弱收敛到$f \in X^*$是指：对任意的$x \in X$都有$\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x).$同时我们记$f_n \rightharpoonup^* f(n \to \infty).$同时也称$f$是$\{ f_n \}$的*弱极限。

基本性质

1. 范数收敛一定弱收敛，弱收敛一定*弱收敛，在自反空间中弱收敛等价于*弱收敛。有限维空间中三种收敛性等价，都是依坐标收敛。（参见弱拓扑#不同拓扑的关系）
2. 强极限/弱极限存在，*弱极限必定存在，且为强极限/弱极限。
3. *弱极限若存在则必唯一。
4. *弱收敛序列是强有界序列。
5. 如果赋范线性空间$X$的共轭空间$X^*$中有$f_n \overset{*}{\rightharpoonup} f$，那么有$$\liminf_{n \to \infty} \| f_n \| \geqslant \| f \|.$$这是范数的*弱下半连续性。
6. 如果赋范线性空间$X$的共轭空间$X^*$中有$f_n \overset{*}{\rightharpoonup} f$，$X$中有点列$x_n \to x$，那么$\langle f_n, x_n \rangle \to \langle f, x \rangle.$如果将点列的强收敛减弱为弱收敛，则结论不一定成立，例如无限维 Hilbert 空间中单位球面上的*弱收敛的点列，$f_n = x_n.$
7. 如果赋范线性空间$X$的共轭空间$X^*$中有序列$\{ f_n \}$满足对任意$x \in X$都有$\{ f_n (x) \}$收敛，那么存在$f \in X^*$使得$f_n$*弱收敛到$f$。（点击查看证明/解答）
   ×证明/解答

   如果赋范线性空间$X$的共轭空间$X^*$中有序列$\{ f_n \}$满足对任意$x \in X$都有$\{ f_n (x) \}$收敛，那么存在$f \in X^*$使得$f_n$*弱收敛到$f$。

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   定义映射$$\begin{align} f: X & \to \R, \\ x & \mapsto \lim_{n \to \infty} f_n(x), \end{align}$$我们断言$f$就是$\{ f_m \}$的*弱极限。

   1. $f$是线性映射：对任意的$a, b \in \R, x, y \in X$我们有$$f(ax+by) = \lim_{n \to \infty} f_n(ax+by) = \lim_{n \to \infty} [af_n(x)+bf_n(y)] = a\lim_{n \to \infty} f_n(x) + b\lim_{n \to \infty} f_n(y) = af(x)+bf(y).$$极限可以展开是因为后面二者极限存在。
   2. $f$连续：对每个$x \in X$，$\{ f_n (x) \}$是有界序列，那么令$B^* = \{ f_n \}_{n=1}^\infty$，用共鸣定理#有界集的判定我们可以得到$B^*$是有界的，即存在$M > 0$使得对任意的$n \in \N$有$\| f_n \| \leqslant M$，于是对任意的$x \in X$我们都有$$|f_n(x)| \leqslant M \| x \|.$$取极限就得到$$|f(x)| \leqslant M \| x \|$$即$\| f \| \leqslant M$。

邻域基

给定$f_0 \in X^*$，取$\varepsilon \geqslant 0$以及有限点集$\{ x_i \}_{i=1}^k$，那么 $$V(x_1, x_2, \cdots, x_k; \varepsilon) := \{ f \in X^*: |\langle f-f_0, x_i \rangle| < \varepsilon, i = 1,2,\cdots,k \}$$是$f_0$在$\sigma(X^*, X)$中的一个邻域，进而通过变动$\varepsilon$以及$\{ x_i \}$我们可以得到$f_0$的一个邻域基。

和弱拓扑一样，*弱邻域至少是无界的凸集。

假设$X$是赋范线性空间，$f_0 \in X^*, x_i \in X, \varepsilon > 0.$定义

$$V(x_1, x_2, \cdots, x_k; \varepsilon) := \{ f \in X^*: |\langle f-f_0, x_i \rangle| < \varepsilon, i = 1,2,\cdots,k \}$$

那么$V$是无界凸集。

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1. 无界性：注意到$X^*$的线性子空间$W = \bigcap_{i=1}^k \ker i_X(x_i) \subset V$，因此$V$无界，其中$i_X: X \to X^{**}$是自然嵌入。
2. 凸性：直接验证，对任意的$f_1, f_2 \in V$以及$t \in (0, 1)$我们有$$\begin{align} |\langle tf_1+(1-t)f_2-f_0, x_i \rangle| & = |\langle t(f_1-f_0)+(1-t)(f_2-f_0), x_i \rangle| \\ & = |\langle t(f_1-f_0), x_i \rangle| + |\langle (1-t)(f_2-f_0), x_i \rangle| \\ & = t|\langle (f_1-f_0), x_i \rangle| + (1-t)|\langle (f_2-f_0), x_i \rangle| \\ & < t\varepsilon + (1-t)\varepsilon = \varepsilon. \\ \end{align}$$即$tf_1 + (1-t)f_2 \in V.$

最弱拓扑

下面的一个定理表明：*弱连续的线性泛函是且只能是诱导*弱拓扑的映射，这就表明*弱拓扑中的集合不能再减少了，不管是作为拓扑还是作为$X$中的子集族。

对任意的线性泛函$\varphi: X^* \to \R$，如果$\varphi$在*弱拓扑下连续，那么存在$x_0 \in X$使得 $$\varphi(f) = \langle f, x_0 \rangle, \quad \forall f \in X^*.$$

Banach-Alaoglu 定理

Banach-Alaoglu 定理指出，赋范线性空间$X$的共轭空间$X^*$中的闭单位球$B_{X^*} := \{ f \in X^*: \| f \| \leqslant 1 \}$是*弱紧的，进而也就是*弱列紧的。进而如果$\{ f_n \} \subset X^*$是模有界的连续线性泛函，即$\sup_n \| f_n \|_{X^*} = M < +\infty$，那么$\{ f_n \}$有一个*弱收敛的子列。

这个定理在我们使用*弱拓扑分析相关问题时十分重要且基本，它的一个重要应用是给出变分的极小值的充分刻画。

同样有对*弱紧性的刻画，见 Banach-Alaoglu-Bourbaki 定理，注意*弱拓扑未必第一可数，因此*弱紧和上述*弱序列紧可能不等价。

*弱闭超平面的刻画

假设$X$是赋范线性空间，$X^*$中的*弱闭超平面有如下刻画。

赋范线性空间$X$中的*弱闭超平面$H$有如下形式：

$$H = \{ f \in X^*: f(x) = \alpha \},$$

其中$\alpha \in \R, x \in X \setminus \{ 0 \}.$

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$H$是 *弱闭的，进而是$X^*$中的强闭超平面，因此存在$\varphi \in X^{**} \setminus \{ 0 \}$使得

$$H = \{ f \in X^*: \varphi(f) = 0 \}.$$ 按照#最弱拓扑中定理的观点，我们只需要证明$f$在*弱拓扑下连续即可，进而由线性性只需要证明$f$在一点处*弱连续即可。由于*弱闭集$H$的补集$H^c$是*弱开集，那么任取$f_0 \in H^c$我们能找到一个*弱邻域$V$使得$V \subset H^c$即$V \cap H = \varnothing$，不妨假设$V$为邻域基中的形式 $$V = \{ f \in X^*: |\langle f-f_0, x_i \rangle| < \varepsilon, i = 1,2,\cdots,k \}$$ 其中$x_i \in X, \varepsilon > 0$，它是有内点（例如，$0 \in \text{Int} V$）的凸弱*开集，进而也是强开集，于是由不交性得到 $$\varphi(f) \ne \alpha, \quad \forall f \in V.$$ 由于$\varphi$连续，那么我们不妨假设 $$\varphi(f) < \alpha, \quad \forall f \in V,$$ 即 $$\varphi(g) < \alpha - \varphi(f_0), \quad \forall g \in W := V - f_0.$$ 于是$\varphi$在原点的一个*弱邻域内有上界，进而*弱连续。

参考资料

1. Haïm Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer Science&Business Media, 2010-11, ISBN 978-0-3877-0913-0.