齐次 Sobolev 空间

齐次 Sobolev 空间（homogeneous Sobolev space）是 Sobolev 空间的推广，在用变分方法解决一些无界区域上或临界指标的偏微分方程解的存在性问题中有一定的应用。当这类空间定义在有界区域上时和对应的 Sobolev 空间没有什么差别，在无界区域上的主要差别是其中的函数在无穷远处的衰减性态。其一类分数阶推广可见齐次 Bessel 位势空间。

定义

令$m \in \N^+, 1 \leqslant p \leqslant +\infty$假设$U \subset \R^n$是单连通开集，$L^p(U)$是$U$上$p$次绝对可积的函数空间，对任意的$u \in L^p(U)$，$D^\alpha u$代表$u$的$\alpha$阶弱导数，在下面的数值有意义且有限的情况下定义半模 $$[u]_{W^{m,p}(U)}:=\sum _{|\alpha |=k}\|D^{\alpha }u\|_{L^{p}(U)}.$$ 我们称空间 $${\dot {W}}^{m,p}(U):=\{u\in L_{\mathsf {loc}}^{1}(U):[u]_{W^{m,p}(U)}<+\infty \}$$ 为齐次 Sobolev 空间，注意它不是赋范线性空间，因为$[u]_{W^{m,p}(U)}$并不是范数而是半范数，对于在这个空间中对任意几乎处处相差常数或一个至多$m - 1$次多项式的函数而言，它们的半范数都是相等的。

为了让这个半范数是一个范数，我们可以缩小空间得到一个新的空间$D^{m,p}(U)$，有如下的几种等价手段来保证这一点：

1. 把任意几乎处处相差常数或一个至多$m - 1$次多项式的函数视作同一个函数，即做商空间$\dot{W}^{m,p}(U)/\sim$，其中$u \sim v$当且仅当$u-v$是一个几乎处处至多$m - 1$次的多项式。
2. $D^{1,2}(U)$是$C_c^\infty(U)$在$[\cdot]_{W^{m,p}(U)}$下的完备化空间，$C_c^\infty(U)$是$U$上所有具有紧支集的$U$上无穷次可微的函数的集合。
3. 如果$U$是有界的或测度有限的，那么我们可以要求$D^{m,p}(U)$是$\dot{W}^{m,p}(U)$中积分均值和$m - 1$阶弱导数的积分均值为零的函数的子空间。

$D^{m,p}(U)$这一记号是由 Deny 和 Lions 引入的，他们最初是通过上面的第二种手段构造的这个空间。Lieb 和 Loss 曾在他们的著作《Analysis》中定义过$D^{1,2}(\R^n)$的等价空间$D^1(\R^n)$，这个空间我们在后面介绍。

于是我们可以证明$D^{m,p}(U)$是 Banach 空间。

p=2, m=1

当$p=2, m=1$时，$D^{1,2}(U)$是 Hilbert 空间，它的内积由半模决定 $$(u, v)_{1,2} = \int_U Du \cdot Dv \mathrm{d}x.$$ 在$U$有界时，$W_0^{1,2}(U) = D^{1,2}(U)$，注意到$2^* > 2$，那么由 Lp 空间的嵌入关系可得 $$W_0^{1,2}(U) \subset D^{1,2}(U).$$ 反过来由 Sobolev 嵌入定理，$D^{1,2}(U)$可以连续嵌入到$L^2(U)$中去，即 $$D^{1,2}(U) \subset L^2(U) \cap \dot{W}^{1,2}(U) = W_0^{1,2}(U).$$ 如果$U$是测度无限的，那么$D^{1,2}(U)$等价于自身$2^*$次绝对可积且各一阶弱导数是$2$次绝对可积的子空间，其中$2^* = \dfrac{2n}{n-2}$是 Sobolev 共轭指标。这种定义手段（特别是$U = \R^n$时）是变分中定义的主流手段。这时需要一个技巧性的 Sobolev 不等式： $$\| u \|_{L^p(\R^n)} \leqslant C \| Du \|_{L^p(\R^n)}, \quad \forall u \in W^{1,2}(\R^n). \quad(*)$$ 但是反过来不成立了，可以验证$u(x) = (1+|x|)^{-\frac{n}{2}} \in L^{2^*}(\R^N) - L^2(\R^n)$且$|Du| \in L^2(\R^n)$。

事实上，$D^{1,2}(\R^n)$对其中的函数在无穷远处的衰减速度限制要比$W^{1,2}(\R^n)$中的宽松，还是因为$2^* > 2, - \dfrac{n}{2^*} > -\dfrac{n}{2}$，这就表明在无穷远处的衰减速度比$-\dfrac{n}{2^*}$小就可以在$D^{1,2}(\R^n)$中，但是衰减速度必须比$-\dfrac{n}{2}$小才可以在$W^{1,2}(\R^n)$中。实际上$D^{1,2}(\R^n)$的要求是足够宽松以至于是保持 Sobolev 不等式$(*)$成立的最大空间，这就是说 Sobolev 不等式成立的任意空间就都会包含在$D^{1,2}(\R^n)$中。

Lieb 和 Loss 曾在他们的著作《Analysis》中定义过$D^{1,2}(\R^n)$的等价空间$D^1(\R^n)$，这个空间是局部$L^1$绝对可积的，梯度的模$L^2$可积的，在无穷远处消失的函数的全体构成的赋范线性空间。这里所谓的函数$u$在无穷远处消失，就是任意次水平集$\{ x \in \R^n: u(x) > \lambda \}$都是测度有限的，其中$\lambda > 0$是给定常数（参见这里）。

参考资料

1. Haïm Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer Science&Business Media, 2010-11, ISBN 978-0-3877-0913-0.