齐次 Bessel 位势空间

齐次 Bessel 位势空间（homogeneous Bessel potential space）又称 Riesz 位势空间，是将 Bessel 位势空间中对函数$L^p$可积性去掉之后得到的一种推广的半范数线性空间，在研究偏微分方程的解的存在性理论中有一些应用。

定义

假设$s\in \mathbb {R} ,1\leqslant p\leqslant +\infty$，对任意$f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})$定义

$$\|f\|_{{\dot {H}}_{p}^{s}}:=\left\|\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{\mathcal {F}}^{-1}(|\xi |^{s}{\mathcal {F}}(\varphi _{k}*f))\right\|_{L^{p}}.$$

定义空间

$${\dot {H}}_{p}^{s}:=\{f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n}):\|f\|_{{\dot {H}}_{p}^{s}}<+\infty \}$$

这是一个赋范线性空间。我们可以证明$\|f\|_{{\dot {H}}_{p}^{s}}=0$当且仅当$f$是一个多项式。

注意我们定义的上述空间并不总是完备的，不过分析这类空间的时候实插值方法依旧可用。Bessel 位势空间关于指标$s$一般也不具有单调嵌入性质。对比齐次 Besov 空间，我们有如下的类似非齐次情形下的连续嵌入：

假设$s \in \R$，$1 \leqslant p \leqslant +\infty$，那么成立连续嵌入

$${\dot {B}}_{p,1}^{s}\subset {\dot {H}}_{p}^{s}\subset {\dot {B}}_{p,\infty }^{s}.$$

整数阶情形

假设$s$是整数，那么我们就可以回到经典的齐次 Sobolev 空间上去。

当$1 < p < +\infty$且$\hat f$在原点的一个邻域内消失的时候我们有

$$\|f\|_{{\dot {H}}_{p}^{s}}\sim \sum _{|\alpha |\leqslant k}\|D^{\alpha }f\|_{p}.$$

内插空间

齐次 Bessel 位势空间的内插空间是齐次 Besov 空间，即有如下的基本定理：

假设$s_{0},s_{1}\in \mathbb {R} ,s_{0}\neq s_{1},1\leqslant p,q\leqslant +\infty$，那么

$$({\dot {H}}_{p}^{s_{0}},{\dot {H}}_{p}^{s_{1}})_{\theta ,q}={\dot {B}}_{p,q}^{s},\quad \forall \theta \in (0,1).$$

记号详见实内插空间以及齐次 Besov 空间，其中$s=(1-\theta )s_{0}+\theta s_{1}.$

下面是其它一些更一般的内插空间公式：

假设$0<\theta<1$，令$s,s_{0},s_{1},p,p_{0},p_{1},q,q_{0},q_{1},r$是给定的实数，令

$${\begin{aligned}s^{*}&=(1-\theta )s_{0}+\theta s_{1}\\{\frac {1}{p^{*}}}&={\frac {1-\theta }{p_{0}}}+{\frac {\theta }{p_{1}}}\\{\frac {1}{q^{*}}}&={\frac {1-\theta }{q_{0}}}+{\frac {\theta }{q_{1}}}\end{aligned}}$$

那么我们有

$${\begin{aligned}\left({\dot {H}}_{p}^{s_{0}},{\dot {H}}_{p}^{s_{1}}\right)_{\theta ,q}&\cong {\dot {B}}_{p,q}^{s^{*}},&&\left(s_{0}\neq s_{1},1\leqslant p,q\leqslant +\infty \right),\\\left({\dot {H}}_{p_{0}}^{s},{\dot {H}}_{p_{1}}^{s}\right)_{\theta ,p^{*}}&\cong {\dot {H}}_{p^{*}}^{s},&&\left(1\leqslant p_{0},p_{1}\leqslant +\infty \right).\end{aligned}}$$

与非齐次空间的关系

假设$f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n}),0\notin {\text{supp}}({\hat {f}})$，$s\in \mathbb {R} ,1\leqslant p\leqslant +\infty$，那么

$$f\in H_{p}^{s}\iff f\in {\dot {H}}_{p}^{s}.$$

进一步

$$H_{p}^{s}=L^{p}\cap {\dot {H}}_{p}^{s}.$$

此外，当$s<0$的时候我们有

$$H_{p}^{s}=L^{p}+{\dot {H}}_{p}^{s}.$$

参考资料

• Bergh, Jöran and Löfström, Jörgen, Interpolation spaces: an introduction, Vol.223, Springer Science & Business Media, 2012