齊次 Besov 空間

齊次 Besov 空間（homogeneous Besov space）是偏微分方程理論中的一類常用的涉及到導數和 Fourier 變換的齊次函數空間，它是齊次 Bessel 位勢空間的實內插空間。

定義

有很多種定義齊次空間的方式，我們先給出一種保留半範數結構的緩增分佈空間，其上的半範數不區分任意兩個相差一個多項式的函數。 我們先構造一個函數$\varphi :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C}$，它滿足：

1. 是 Schwartz 函數。
2. 支集在$\{\xi :1/2\leqslant |\xi |\leqslant 2\}$中且在其內部非負。
3. 對任意的$\xi \neq 0$都有$\sum _{k=-\infty }^{+\infty }\varphi (2^{k}\xi )=1.$

令$\varphi _{k}={\mathcal {F}}^{-1}\varphi (2^{-k}\xi )$，下面我們來定義 Besov 空間：

假設$s\in \mathbb {R} ,1\leqslant p,q\leqslant +\infty$，我們收集滿足如下條件

$$\|f\|_{{\dot {B}}_{p,q}^{s}}:=\|\{2^{sk}\|\varphi _{k}*f\|_{p}\}_{k\in \mathbb {Z} }\|_{l^{q}},$$

的所有函數$f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})$構成齊次 Besov 空間${\dot {B}}_{p,q}^{s}.$這是一個賦半范線性空間，$\|f\|_{{\dot {B}}_{p,q}^{s}}=0$當且僅當$f$是多項式。

這個空間的定義不依賴於$\varphi$的選取。指標$p$是積分指標，和$L^p$空間，Sobolev 空間$W^{m,p}$中的$p$意義相同；指標$s$是維數指標，是$W^{m,p}$中$m$的推廣，後文將指出$s$取整數的時候可以用導數來刻畫這個空間；$q$是內插指標，可見#內插性質。

嵌入關係

由定義我們可以直接得到如下一個單調連續嵌入的關係：

$${\begin{aligned}q_{1}<q_{2}&\Longrightarrow B_{p,q_{1}}^{s}\subset B_{p,q_{2}}^{s}.\end{aligned}}$$

和非齊次情形不同的是，不存在單獨的關於指標$s$的嵌入。

對任意的$1 \leqslant p \leqslant +\infty$以及$s \in \R$，那麼我們就有連續嵌入${\dot {B}}_{p,1}^{s}\subset {\dot {H}}_{p}^{s}\subset {\dot {B}}_{p,\infty }^{s}.$

內插性質

Besov 空間的很多基本性質都可以通過下面這一事實得到。

假設$s_{0},s_{1}\in \mathbb {R} ,s_{0}\neq s_{1},1\leqslant p,q\leqslant +\infty$，那麼

$$({\dot {H}}_{p}^{s_{0}},{\dot {H}}_{p}^{s_{1}})_{\theta ,q}={\dot {B}}_{p,q}^{s},\quad \forall \theta \in (0,1).$$

記號詳見實內插空間以及齊次 Bessel 位勢空間，其中$s=(1-\theta )s_{0}+\theta s_{1}.$

下面是其它一些更一般的內插空間公式：

假設$0<\theta<1$，令$s,s_{0},s_{1},p,p_{0},p_{1},q,q_{0},q_{1},r$是給定的實數，令

$${\begin{aligned}s^{*}&=(1-\theta )s_{0}+\theta s_{1}\\{\frac {1}{p^{*}}}&={\frac {1-\theta }{p_{0}}}+{\frac {\theta }{p_{1}}}\\{\frac {1}{q^{*}}}&={\frac {1-\theta }{q_{0}}}+{\frac {\theta }{q_{1}}}\end{aligned}}$$

那麼我們有$${\begin{aligned}\left({\dot {B}}_{p,q_{0}}^{s_{0}},{\dot {B}}_{p,q_{1}}^{s_{1}}\right)_{\theta ,r}&\cong {\dot {B}}_{p,r}^{s^{*}},&&\left(s_{0}\neq s_{1},1\leqslant p\leqslant +\infty ,1\leqslant r,q_{0},q_{1}\leqslant +\infty \right),\\\left({\dot {B}}_{p,qq_{0}}^{s},{\dot {B}}_{p,q_{1}}^{s}\right)_{\theta ,q^{*}}&\cong {\dot {B}}_{p,q^{*}}^{s},&&\left(1\leqslant p,q_{0},q_{1}\leqslant +\infty \right)\\\left({\dot {B}}_{p_{0},q_{0}}^{s_{0}},{\dot {B}}_{p_{1},q_{1}}^{s_{1}}\right)_{\theta ,p^{*}}&\cong {\dot {B}}_{p^{*},q^{*}}^{s^{*}},&&\left(s_{0}\neq s_{1},p^{*}=q^{*},1\leqslant p_{0},p_{1},q_{0},q_{1}\leqslant +\infty \right).\\\end{aligned}}$$

整數階空間

下面這個定理表明了，當$s$取正整數的時候，齊次 Besov 空間可以使用函數的各階導數以及連續模刻畫。

假設$m,N$是正整數且$0<s<m+N,0\leqslant N<s$，那麼對任意的$1\leqslant p,q\leqslant +\infty$都有如果$f\in {\dot {B}}_{p,q}^{s}$，那麼存在多項式$P_f$使得$f-P_{f}\in B_{p,q}^{s}$

$$\|f-P_{f}\|_{B_{p,q}^{s}}\sim \sum _{i=1}^{N}\left(\int _{0}^{\infty }{\big [}t^{N-s}\omega _{p}^{m}(t,D^{N}f(t)){\big ]}^{q}{\dfrac {\mathrm {d} t}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}$$

其中$m$階$p$次連續模$\omega _{p}^{m}(t,f)=\sup _{|y|\leqslant t}\|\Delta _{y}^{m}f\|_{p}$，$m$階差分算子$\Delta _{y}^{m}(f)=\sum _{k=0}^{m}{\binom {m}{k}}(-1)^{k}f(x+ky).$

從上述定理中也可以看到 $$f\in {\dot {B}}_{p,q}^{s}\iff D^{\alpha }f\in {\dot {B}}_{p,q}^{s-k},\quad \forall \alpha :|\alpha |\leqslant k.$$ 當然要求$1 < p < +\infty.$

其它定義

我們給出的定義歸功於 Peetre，很多參考文獻將這裏定義的齊次 Besov 空間稱為齊次 Besov-Lipschitz 空間。我們自然可以效仿 Besov 本人給出的非齊次 Besov 空間的定義來給出一個齊次空間：令$0<s<1,1\leqslant p,q\leqslant +\infty$，給一個局部可積的函數$f$定義 $$\|f\|_{{\ddot {B}}_{p,q}^{s}}=\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\big [}|h|^{-s}\|\Delta _{h}f\|_{p}{\big ]}^{q}{\dfrac {\mathrm {d} h}{|h|^{n}}}\right)^{\frac {1}{q}}.$$ 如果$q=+\infty$，上述定理中的積分理解為本性上確界。

上述半範數等價於 $$\|f\|_{{\ddot {B}}_{p,q}^{s}}^{\sim }=\left(\int _{\mathbb {R} ^{+}}{\big [}t^{-s}\|\omega _{p}(t,f){\big ]}^{q}{\dfrac {\mathrm {d} h}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}.$$ 於是我們把上述空間記作${\ddot {B}}_{p,q}^{s}$，其中兩個函數的半範數相同當且僅當它們相差一個常數。這個空間和我們定義的空間有如下關係：

假設$0<s<1,1\leqslant p,q\leqslant +\infty$以及$f \in L^1_{\mathsf{loc}}(\R^n)$，那麼

1. 存在不依賴於$f$的常數$C$使得$\|f\|_{{\dot {B}}_{p,q}^{s}}\leqslant \|f\|_{{\ddot {B}}_{p,q}^{s}}.$
2. 存在不依賴於$f$的常數$c$使得存在依賴於$f$的，在相差一個常數意義下的唯一多項式$P_f$滿足$c\|f-P_{f}\|_{{\ddot {B}}_{p,q}^{s}}\leqslant \|f\|_{{\dot {B}}_{p,q}^{s}}.$

基本上來說是一樣的。參見這裏。