齐次 Besov 空间(homogeneous Besov space)是偏微分方程理论中的一类常用的涉及到导数和 Fourier 变换的齐次函数空间,它是齐次 Bessel 位势空间的实内插空间。
定义[]
有很多种定义齐次空间的方式,我们先给出一种保留半范数结构的缓增分布空间,其上的半范数不区分任意两个相差一个多项式的函数。
我们先构造一个函数
,它满足:
- 是 Schwartz 函数。
- 支集在
中且在其内部非负。
- 对任意的
都有
令
,下面我们来定义 Besov 空间:
假设

,我们收集满足如下条件

的所有函数

构成齐次 Besov 空间

这是一个
赋半范线性空间,

当且仅当

是
多项式。
这个空间的定义不依赖于
的选取。指标
是积分指标,和
空间,Sobolev 空间
中的
意义相同;指标
是维数指标,是
中
的推广,后文将指出
取整数的时候可以用导数来刻画这个空间;
是内插指标,可见#内插性质。
嵌入关系[]
由定义我们可以直接得到如下一个单调连续嵌入的关系:

和非齐次情形不同的是,不存在单独的关于指标
的嵌入。
对任意的

以及

,那么我们就有连续嵌入

内插性质[]
Besov 空间的很多基本性质都可以通过下面这一事实得到。
假设

,那么

记号详见
实内插空间以及
齐次 Bessel 位势空间,其中

下面是其它一些更一般的内插空间公式:
假设

,令

是给定的实数,令

那么我们有

整数阶空间[]
下面这个定理表明了,当
取正整数的时候,齐次 Besov 空间可以使用函数的各阶导数以及连续模刻画。
假设

是正整数且

,那么对任意的

都有如果

,那么存在多项式

使得
![{\displaystyle \|f-P_{f}\|_{B_{p,q}^{s}}\sim \sum _{i=1}^{N}\left(\int _{0}^{\infty }{\big [}t^{N-s}\omega _{p}^{m}(t,D^{N}f(t)){\big ]}^{q}{\dfrac {\mathrm {d} t}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/e087c457991106de3ef88bce3b308a967eaaef7f)
其中

阶

次连续模

,

阶差分算子

从上述定理中也可以看到

当然要求
其它定义[]
我们给出的定义归功于 Peetre,很多参考文献将这里定义的齐次 Besov 空间称为齐次 Besov-Lipschitz 空间。我们自然可以效仿 Besov 本人给出的非齐次 Besov 空间的定义来给出一个齐次空间:令
,给一个局部可积的函数
定义
![{\displaystyle \|f\|_{{\ddot {B}}_{p,q}^{s}}=\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\big [}|h|^{-s}\|\Delta _{h}f\|_{p}{\big ]}^{q}{\dfrac {\mathrm {d} h}{|h|^{n}}}\right)^{\frac {1}{q}}.}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/e64005b12df291bde52353cd1964a0d2d2b0a499)
如果

,上述定理中的积分理解为本性上确界。
上述半范数等价于
![{\displaystyle \|f\|_{{\ddot {B}}_{p,q}^{s}}^{\sim }=\left(\int _{\mathbb {R} ^{+}}{\big [}t^{-s}\|\omega _{p}(t,f){\big ]}^{q}{\dfrac {\mathrm {d} h}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}.}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/1f4dd952a7726a6f06dc417360364edc50e55d8a)
于是我们把上述空间记作

,其中两个函数的半范数相同当且仅当它们相差一个常数。这个空间和我们定义的空间有如下关系:
假设

以及

,那么
- 存在不依赖于
的常数
使得
- 存在不依赖于
的常数
使得存在依赖于
的,在相差一个常数意义下的唯一多项式
满足
基本上来说是一样的。参见这里。
调和分析(学科代码:1104150,GB/T 13745—2009) |
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