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齐次 Besov 空间(homogeneous Besov space)是偏微分方程理论中的一类常用的涉及到导数和 Fourier 变换的齐次函数空间,它是齐次 Bessel 位势空间实内插空间

定义[]

有很多种定义齐次空间的方式,我们先给出一种保留半范数结构的缓增分布空间,其上的半范数不区分任意两个相差一个多项式的函数。 我们先构造一个函数,它满足:

  1. Schwartz 函数
  2. 支集中且在其内部非负。
  3. 对任意的都有

,下面我们来定义 Besov 空间:

假设,我们收集满足如下条件

的所有函数构成齐次 Besov 空间这是一个赋半范线性空间当且仅当多项式

这个空间的定义不依赖于的选取。指标是积分指标,和空间,Sobolev 空间中的意义相同;指标是维数指标,是的推广,后文将指出取整数的时候可以用导数来刻画这个空间;是内插指标,可见#内插性质

嵌入关系[]

由定义我们可以直接得到如下一个单调连续嵌入的关系:

和非齐次情形不同的是,不存在单独的关于指标的嵌入。

对任意的以及,那么我们就有连续嵌入

内插性质[]

Besov 空间的很多基本性质都可以通过下面这一事实得到。

假设,那么

记号详见实内插空间以及齐次 Bessel 位势空间,其中

下面是其它一些更一般的内插空间公式:

假设,令是给定的实数,令

那么我们有

整数阶空间[]

下面这个定理表明了,当取正整数的时候,齐次 Besov 空间可以使用函数的各阶导数以及连续模刻画。

假设是正整数且,那么对任意的都有如果,那么存在多项式使得

其中次连续模阶差分算子

从上述定理中也可以看到

当然要求

其它定义[]

我们给出的定义归功于 Peetre,很多参考文献将这里定义的齐次 Besov 空间称为齐次 Besov-Lipschitz 空间。我们自然可以效仿 Besov 本人给出的非齐次 Besov 空间的定义来给出一个齐次空间:令,给一个局部可积的函数定义

如果,上述定理中的积分理解为本性上确界。

上述半范数等价于

于是我们把上述空间记作,其中两个函数的半范数相同当且仅当它们相差一个常数。这个空间和我们定义的空间有如下关系:

假设以及,那么
  1. 存在不依赖于的常数使得
  2. 存在不依赖于的常数使得存在依赖于的,在相差一个常数意义下的唯一多项式满足

基本上来说是一样的。参见这里

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