高阶导数

高阶导数（Higher derivatives）是微积分中一个研究对象，它是通过数学归纳的方法定义的。

二阶导数

如果函数的导数 $f'(x)$ 在 $x$ 处可导，则称 $(f'(x))'$ 为 $x$ 的二阶导数。记做 $f''(x)$，$y''$，$\frac{\text{d}^2 y}{\text{d}x^2}$ 或 $\frac{\text{d}^2 f(x)}{\text{d} x^2}$。如果函数的二阶导数存在，我们就说这个函数在点 $x$ 处二阶可导。

高阶导数

在数学中，我们是通过 $f(x)$ 的 $n-1$ 阶导数（ $n>1$ ）定义 $n$ 阶导数的。如果函数的 $n-1$ 阶导数在 $x$ 处可导，则称 $f(x)$$n-1$ 阶导数的导数为 $f(x)$ 的n阶导数。记做 $f^{(n)}(x)$，$\frac{\text{d}^n y}{\text{d}x^n}$ 或 $\frac{\text{d}^n f(x)}{\text{d} x^n}$。如果函数的 $n$ 阶导数存在，我们就说这个函数在点 $x$ 处 $n$ 阶可导。

函数 $f(x)$ 的三阶导数也可记作 $f'''(x)$，有时候为了统一，我们也记原函数为 $f^{(0)} (x).$

从定义中我们可以知道求函数高阶导数，一般要求出所有的低阶导数。

一些初等函数的高阶导数

• 常函数的各阶导数都是零。
• $\alpha$ 为正整数时，$(x^{\alpha})^{(n)} = \begin{cases} x^{\alpha-n} \displaystyle{ \prod_{k=0}^{n-1} (\alpha-k) }, \quad n \leqslant \alpha \\ 0, \quad n > \alpha. \end{cases}$

$\alpha$ 不为正整数时，$(x^{\alpha})^{(n)} = x^{\alpha-n} \displaystyle{ \prod_{k=0}^{n-1} (\alpha-k) }.$

• $(\frac{1}{x})^{(n)} = (-1)^{n}\frac{n!}{x^{n+1}}.$
• $(\ln x)^{(n)} = (-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{x^n}.$
• $( a^x)^{(n)} = a^x \cdot \ln^n a$ $(a>0)$，特别地，$(\text{e}^x)^{(n)} = \text{e}^x.$
• $(\sin (kx+b))^{(n)} = k^n \sin \left(kx+b+\frac{n\pi}{2}\right).$
• $(\cos (kx+b))^{(n)} = k^n \cos \left(kx+b+\frac{n\pi}{2}\right).$

求导法则

同导数一样，高阶导数也有一些求导法则，例如

• $\big( f(x) \pm g(x) \big)^{(n)} = f^{(n)} (x) \pm g^{(n)} (x).$
• $\big( k f(x) \big)^{(n)} = k f^{(n)} (x)$，$k$为常数。

莱布尼兹公式

在数学中，有一个类似二项展开式的函数乘积的高阶导数公式，即莱布尼兹公式，它是说对于 $n$ 阶可导函数 $f(x), g(x)$，有

$$\big( f(x)g(x) \big)^{(n)} = \sum _{k=0}^n \dbinom{n}{k} f^{(k)} (x) \cdot g^{(n-k)} (x).$$

相关章节

• 上一节：求导法则
• 下一节：微分

参考资料

1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.